第2章　平面向量及其应用 5.1　向量的数量积--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
A级必备知识基础练
1.[探究点二]已知|b|=3,a在b上的投影向量为b,则a·b的值为(　　)
A.3 B. C.2 D.
2.[探究点一]已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
3.[探究点三]设向量a,b满足|a+b|=2,|a-b|=,则a·b等于(　　)
A. B.- C. D.-
4.[探究点一]已知在△ABC中,AB=AC=4,=8,则△ABC的形状是　　　　　,=　　　　　.
5.[探究点一、二]已知|a|=5,|b|=4.
(1)若a与b的夹角为θ=120°.
①求a·b;
②求a在b上的投影向量.
(2)若a∥b,求a·b.
B级关键能力提升练
6.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于(　　)
A.-7 B.7 C.25 D.-25
7.已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b·(a-b)=0,则|b|的取值范围是　　　　　.
8.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.
C级学科素养创新练
9.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证:(a-b)⊥c;
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求实数k的取值范围.
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
1.B　设=θ,
由题可知|a|cos θb,
∴|a|cos θ,
∴|a|cos θ=,
∴a·b=|a||b|cos θ=3×.
2.C　设=θ,θ∈[0,π].
因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cos θ=3,
所以cos θ=-,
又因为θ∈[0,π],
所以θ=.
3.A　|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=8,①
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=3,②
由①-②得4a·b=5,
∴a·b=.
4.等边三角形　-8　=||||cos∠BAC,
即8=4×4×cos∠BAC,
于是cos∠BAC=,
因为0°<∠BAC<180°,
所以∠BAC=60°.
又AB=AC,故△ABC是等边三角形,BC=4.
此时=||||cos 120°=-8.
5.解 (1)①a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=-10.
②a在b上的投影向量为|a|cos θ=5×-×=-b.
(2)∵a∥b,∴a与b的夹角为α=0°或180°.
当α=0°时,a·b=|a||b|cos 0°=20;
当α=180°时,a·b=|a||b|cos 180°=-20.
6.D　由题意知∠ABC=90°,所以cos∠BCA=,cos∠CAB=,所以原式=0+4×5×cos(180°-∠BCA)+5×3×cos(180°-∠CAB)=-20cos∠BCA-15cos∠CAB=-20×-15×=-25.
7.[0,1]　记=θ,θ∈[0,π].
∵b·(a-b)=a·b-|b|2=|a||b|cos θ-|b|2=0,
∴|b|=|a|cos θ=cos θ,
∴0≤|b|≤1.
8.解 由已知条件得,
即
②-①得,23b2-46a·b=0,
∴2a·b=b2,
代入①得a2=b2,
∴|a|=|b|,记=θ,θ∈[0,π],
∴cos θ=.
∵θ∈[0,π],∴θ=.
9.(1)证明因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0,所以(a-b)⊥c.
(2)解因为|ka+b+c|>1,
所以(ka+b+c)2>1,
即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,
因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-,
所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.所以实数k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).
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