第2章　平面向量及其应用 5.2　向量数量积的坐标表示　5.3　利用数量积计算长度与角度--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版数学必修第二册
5.2　向量数量积的坐标表示　5.3　利用数量积计算长度与角度
A级必备知识基础练
1.[探究点三]已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为(　　)
A.- B. C.- D.
2.[探究点二]已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=(　　)
A. B.2 C.4 D.12
3.[探究点一]已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
4.[探究点三]设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　　.
5.[探究点四]已知三点A(1,2),B(0,1),C(-2,5),则三角形的形状为　　　　　三角形.
6.[探究点一、二、三]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(-2,3),C(2,-1).
(1)求及||;
(2)设实数t满足(-t)⊥,求t的值.
B级关键能力提升练
7.(多选)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为(　　)
A.- B.
C. D.
8.已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为坐标原点,则的最小值为　　　　.
9.已知正方形ABCD的边长为2,点P满足),则||=　　　　　;=　　　　　.
10.已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).
(1)求使取得最小值时点C的坐标;
(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.
11.在平面直角坐标系中,已知a=(1,-2),b=(3,4).
(1)若(3a-b)∥(a+kb),求实数k的值;
(2)若(a-tb)⊥b,求实数t的值.
C级学科素养创新练
12.(多选)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c.下列说法正确的是(　　)
A.为钝角
B.a在b方向上的投影数量为
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
13.已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且=λ,点Q是边AB上一点,且=0.
(1)求实数λ的值与点P的坐标;
(2)求点Q的坐标;
(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·()的取值范围.
5.2　向量数量积的坐标表示
5.3　利用数量积计算长度与角度
1.A　由a=(-3,2),b=(-1,0),
知λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2).
又λa+b与a-2b垂直,∴(λa+b)·(a-2b)=0,
∴3λ+1+4λ=0,∴λ=-.
2.B　∵a=(2,0),|b|=1,=60°,
∴|a|=2,a·b=2×1×cos 60°=1.
∴|a+2b|==2.
3.C　因为=(1,t-3),
所以||==1,解得t=3,
所以=(1,0),所以=2×1+3×0=2.
4.5　∵a⊥b,∴a·b=0.
又a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),
∴1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5.
5.直角　=(-1,-1),=(-3,3),=(-2,4),||≠||≠||,
显然=(-1)×(-3)+(-1)×3=0,
∴,∴△ABC为直角三角形.
6.解 (1)∵A(1,4),B(-2,3),C(2,-1),
∴=(-3,-1),=(1,-5),
∴=(-3)×1+(-1)×(-5)=2,
=(-2,-6),
∴||==2.
(2)=(2,-1),∴-t=(-3-2t,-1+t),
∵(-t)⊥,∴(-t)·=0,
∴(-3-2t)×2+(-1+t)×(-1)=0,∴t=-1.
7.ABC　∵=(2,3),=(1,k),
∴=(-1,k-3).
若A=90°,则=2×1+3×k=0,∴k=-;
若B=90°,则=2×(-1)+3(k-3)=0,
∴k=;
若C=90°,则=1×(-1)+k(k-3)=0,
∴k=.故所求k的值为-.
8.2　已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为原点,
则·()=4+2cos θ,
又cos θ∈[-1,1],
则∈[2,6],
即的最小值为2.
9.　-1　
以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),
∴=(2,0),=(2,2),
∴)=(2,1),
∴P(2,1),∴=(-2,1),=(0,-1),
∴||==0×(-2)+(-1)×1=-1.
10.解 (1)∵点C是直线OP上的一点,
∴向量共线,
设=t(t∈R),
则=(2t,t),
∴=(1-2t,7-t),
=(5-2t,1-t),
∴=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8.
∴当t=2时,取得最小值,此时=(4,2),
∴C(4,2).
(2)由(1)知=(-3,5),=(1,-1),
∴||=,||==-3-5=-8.
∴cos∠ACB==-.
11.解(1)因为a=(1,-2),b=(3,4),
所以3a-b=3(1,-2)-(3,4)=(0,-10),
a+kb=(1,-2)+k(3,4)=(3k+1,4k-2).
因为(3a-b)∥(a+kb),
所以-10(3k+1)=0,解得k=-.
(2)a-tb=(1,-2)-t(3,4)=(1-3t,-2-4t),
因为(a-tb)⊥b,
所以(a-tb)·b=3×(1-3t)+4×(-2-4t)=-25t-5=0,解得t=-.
12.CD　对于A,a·b=2-1=1>0,则为锐角,故A不正确;
对于B,a在b方向上的投影数量为,故B不正确;
对于C,a-b=(1,2),若(a-b)∥c,则-n=2(m-2),则2m+n=4,故C正确;
对于D,mn=·(2m)·n≤2=2,当且仅当2m=n,即m=1,n=2时等号成立,故D正确.故选CD.
13.解(1)设P(14,y),则=(14,y),=(-8,-3-y),由=λ,得(14,y)=λ(-8,-3-y),
解得λ=-,y=-7,∴点P的坐标为(14,-7).
(2)设Q(a,b),则=(a,b),
由(1)得=(12,-16),
∵=0,
∴12a-16b=0,即3a-4b=0. ①
∵点Q在边AB上,∴,
又=(4,-12),=(a-2,b-9),
∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0. ②
联立①②,解得a=4,b=3,∴点Q坐标为(4,3).
(3)由(2)得=(4,3),
∵R为线段OQ上的一个动点,
∴设=t=(4t,3t),且0≤t≤1,
则R(4t,3t),=(-4t,-3t),=(2-4t,9-3t),=(6-4t,-3-3t),
∴=(8-8t,6-6t),
∴·()=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50(0≤t≤1),
当t=0或1时,上式取得最大值0;
当t=时,上式取得最小值-.故·()的取值范围为-,0.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)