第2章　平面向量及其应用 6.1　第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
A级必备知识基础练
1.[探究点二](多选)某人向正东方向走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好 km,则x的值为(　　)
A. B.2 C.2 D.3
2.[探究点二]如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为(　　)sin 15°=
A.(30+30)m B.(30+15)m
C.(15+30)m D.(15+15)m
3.[探究点二]某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后,看见该灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是　　　　　km.
4.[探究点二]如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,A,B,C,D四点共圆,则AC的长为　　　　　 km.
B级关键能力提升练
5.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
6.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案(△ABC的内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):
①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.
一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为(　　)
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
C级学科素养创新练
7.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处是我方的缉私船,并奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 求出所需时间.(注:≈2.5,结果精确到0.1分钟)
第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
1.AB　如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,
由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,
即()2=x2+32-2x·3·cos 30°.
∴x2-3x+6=0.
解得x=2或x=.
2.A　在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,由正弦定理,得PB==30()(m),所以建筑物的高度为PBsin 45°=30()×=(30+30)(m).
3.15　设灯塔位置为A,船的初始位置为O,船的终止位置为B,
由题意知∠AOB=30°,∠OAB=120°,
则∠OBA=30°,所以由正弦定理,得AB=15,
即此时船与灯塔的距离是15 km.
4.7　因为A,B,C,D四点共圆,
所以D+B=π.
在△ABC和△ADC中,
由余弦定理,可得82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos D,
整理得cos D=-,
所以AC2=32+52-2×3×5×-=49,
故AC=7 km,
即AC的长为7 km.
5.BD　由cos A=得,即a2+c2所以角B为钝角,故△ABC为钝角三角形.故选BD.
6.D　①测量A,C,b,因为知道A,C,可求出B,由正弦定理可求出c;②测量a,b,C,已知两边及夹角,可利用余弦定理求出c;③测量A,B,a,因为知道A,B,可求出C,由正弦定理可求出c,故三种方法都可以.
7.解设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获走私船(在D点),
则CD=10t海里,BD=10t海里,
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=+22-2·(-1)·2·cos 120°=6,
解得BC=.
又因为,
所以sin∠ABC=,
所以∠ABC=45°,故B点在C点的正东方向上,
所以∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得,
所以sin∠BCD=.
所以∠BCD=30°,所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
所以∠D=30°,所以BD=BC,即10t=,
解得t=小时≈15.0分钟.
所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15.0分钟.
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