第4、5章测评--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
第四、五章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=(1-i)+λ(1+i)是纯虚数,则实数λ=(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
2.i为虚数单位,等于(　　)
A.0 B.2i C.-2i D.4i
3.[2024广东汕头高三模拟]已知复数z=,则复数在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.[2024福建福州模拟]已知z是方程x2-2x+2=0的一个根,则||=(　　)
A.1 B. C. D.2
5.已知α∈0,,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)
A. B. C. D.
6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a2-2b2+2c2=0,则(　　)
A.tan B=-3tan C B.tan B=3tan C
C.tan B=-5tan C D.tan B=5tan C
7.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x 的对称点为点B,则向量对应的复数为(　　)
A.-2+i B.-2-i C.1+2i D.-1+2i
8.若tan α=2tan,则=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.给出下列命题,其中是真命题的是(　　)
A.纯虚数z的共轭复数是-z B.若z1-z2=0,则z1=
C.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数 D.若z1-z2=0,则z1与互为共轭复数
10.已知函数f(x)=sin x-cosx+,则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最小正周期为2π
C.f(x)的图象关于直线x=kπ+(k∈Z)对称
D.f(x)的值域为[-]
11.已知0<θ<,若sin 2θ=m,cos 2θ=n且m≠n,则下列选项中与tan-θ恒相等的有(　　)
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若z1=1-i,z2=3-5i,在复平面内z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,则Z1,Z2的距离为　　　　　.
13.已知tan α=,tan(α-β)=,则tan(2α-β)=　　　　　.
14.[2024重庆开州高一期末]若3+2i是方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R)的一个根,则=　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限,|z|=1,且z+=1,求z;
(2)已知复数z=-(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数m的值.
16.(15分)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P-.
(1)求sin α,cos(π-α);
(2)若角β满足tan(α-β)=,求tan(2α-β)的值.
17.(15分)[2024上海浦东新区高一月考]已知复数z=a+i(a∈R),i为虚数单位.
(1)若|z|=1,求a的值;
(2)若为实数,求a的值;
(3)若z是关于x的实系数方程x2+bx+2=0的一个复数根,求a,b的值.
18.(17分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α的值.
19.(17分)已知函数f(x)=4sinωx-cos ωx在x=处取得最值,其中ω∈(0,2).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若α为锐角,且g(α)=,求cos α的值.
第四、五章测评
1.B　由题得,z=(1+λ)+(λ-1)i.因为复数z是纯虚数,所以1+λ=0,且λ-1≠0,解得λ=-1.
2.A　=-i,=i,=-i,=i,
∴=0.
3.C　z==-1+i,则=-1-i,故复数在复平面内对应的点(-1,-1)位于第三象限.故选C.
4.B　因为方程x2-2x+2=0是实系数方程,且Δ=(-2)2-4×2=-4<0,所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根,即z1,2==1±i,故||=|z|=.
5.B　因为2sin 2α=cos 2α+1,所以4sin αcos α=2cos2α.
因为α∈0,,所以cos α>0,sin α>0,所以2sin α=cos α.
又sin2α+cos2α=1,所以5sin2α=1,即sin2α=.
因为sin α>0,所以sin α=.故选B.
6.C　由已知3a2-2b2+2c2=0,得c2-b2=-a2,
所以cos B==-,
即4ccos B=-a,由正弦定理可得4sin Ccos B=-sin A,
所以4sin Ccos B=-sin(C+B),
即4sin Ccos B=-sin Ccos B-cos Csin B,
所以5sin Ccos B=-cos Csin B.则tan B=-5tan C.
故选C.
7.A　复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量对应的复数为-2+i.故选A.
8.C　cosα-=cosα+=cos-α+=sinα+,所以原式==3.
9.AD　根据共轭复数的定义,显然A是真命题;
若z1-z2=0,则z1=z2,当z1,z2均为实数时,则有z1=,当z1,z2是虚数时,z1≠,所以B是假命题;
若z1+z2∈R,则z1,z2可能均为实数,但不一定相等,或z1与z2的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命题;
若z1-z2=0,则z1=z2,所以z1与互为共轭复数,故D是真命题.故选AD.
10.BCD　因为f(x)=sin x-cosx+=sin x-cos x-sin x=sin x-cos x=sin x-cos x=sinx-,
所以f(x)的最小正周期为2π,所以A错误,B正确;
由x-=kπ+(k∈Z)得x=kπ+(k∈Z),即f(x)的图象关于直线x=kπ+(k∈Z)对称,所以C正确;
因为x∈R,所以-1≤sinx-≤1,
所以-≤f(x)≤,
即f(x)的值域为[-],所以D正确.
11.AD　∵sin 2θ=m,cos 2θ=n,∴m2+n2=1,
∴.tan-θ=.
12.2　由z1=1-i,z2=3-5i知,Z1(1,-1),Z2(3,-5).设Z1,Z2的距离为d,由两点间的距离公式得,d==2.
13.　∵tan α=,tan(α-β)=,∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=.
14.7　3+2i是方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R)的一个根,可得复数3-2i是方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R)的另一个根,则=(3+2i)(3-2i)=13,-=3+2i+3-2i=6,=-6,则=-6+13=7.
15.解(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由题意得解得a=,b=±.
∵复数z在复平面内对应的点在第四象限,∴b=-.
∴z=i.
(2)z=-(1+5i)m-3(2+i)=-(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i,
依题意,m2-m-6=0,解得m=3或-2.
又2m2-5m-3≠0,∴m≠3.∴m=-2.
16.解 (1)∵P,∴sin α=,cos α=-,
∴cos(π-α)=-cos α=.
(2)∵tan α=-2,tan(α-β)=,∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]==-1.
17.解(1)因为|z|==1,所以a=0.
(2)因为i为实数,
所以=0,解得a=1.
(3)因为z是关于x的实系数方程x2+bx+2=0的一个复数根,所以(a+i)2+b(a+i)+2=0,
整理得a2+ab+1+(2a+b)i=0,
所以解得
18.解(1)a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β),
|a-b|2=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2-2cos(α-β)=2=,∴cos(α-β)=.
(2)由0<α<,-<β<0,且sin β=-,cos(α-β)=,可知cos β=,sin(α-β)=,∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=×-=.
19.解(1)由题可得,f(x)=4sinωx-cos ωx
=4sin ωx-cos ωxcos ωx
=2sin ωxcos ωx-2cos2ωx
=sin 2ωx-cos 2ωx-
=2sin2ωx--.
∵函数f(x)在x=处取得最值,
∴2ω×=kπ+,k∈Z,
解得ω=2k+,k∈Z.
又ω∈(0,2),∴ω=,
∴f(x)=2sin3x--,
∴函数f(x)的最小正周期T=.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin3x+--=2sin3x--的图象,
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数y=2sinx--的图象,
即g(x)=2sinx--.
∵α为锐角,g(α)=2sinα--,
∴sinα-=,cosα-=,
∴cos α=cosα-+
=cosα--sinα-
=
=.
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