第4章　三角恒等变换 1.1　基本关系式　1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值　1.3　综合应用--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
§1　同角三角函数的基本关系
1.1　基本关系式　1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值　1.3　综合应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]若sin α=,则sin2α-cos2α的值为 (　　)
A.- B.-
C. D.
2.[探究点一]若α是第四象限角,tan α=-,则sin α等于(　　)
A. B.- C. D.-
3.[探究点四]化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　)
A. B. C.1 D.
4.[探究点三]已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为(　　)
A. B.-
C. D.-
5.[探究点三](多选)已知α是三角形内角,若sin α+cos α=,则sin α-cos α的值为(　　)
A.- B.-
C. D.
6.[探究点一]若α是第三象限角且cos α=-,则sin α=　　　,tan α=　　　.
7.[探究点二]已知,则tan α=　　　　.
8.[探究点一]已知cos θ=,则sin θtan θ+的值为　　　.
9.[探究点四](1)化简:tan α(其中α为第二象限角);
(2)求证:=1.
B级关键能力提升练
10.化简的结果为(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
11.已知tan α=-,则sin α(sin α-cos α)=(　　)
A. B. C. D.
12.已知=20A.0, B.,π
C.π, D.,2π
13.在△ABC中,sin A=,则角A=　　　　.
14.已知,则等于　　　　.
15.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα(n∈N+)的值为　　　　.
16.证明:.
C级学科素养创新练
17.已知sin α,cos α为方程4x2-4mx+2m-1=0的两个实根,α∈-,0,求m及α.
第四章　三角恒等变换
§1　同角三角函数的基本关系
1.1　基本关系式
1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3　综合应用
1.B　因为sin α=,所以cos2α=1-sin2α=,则原式==-.
2.D　因为tan α==-,sin2α+cos2α=1,所以sin α=±.因为α是第四象限角,所以sin α=-.
3.C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
4.A　因为θ为第三象限角,所以sin θ<0,cos θ<0,sin θcos θ>0,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=,所以sin2θcos2θ=,又sin θcos θ>0,所以sin θcos θ=.
5.BC　∵α是三角形内角,∴α∈(0,π),又(sin α+cos α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2sin αcos α=2,∴2sin αcos α=,∵sin αcos α>0且α∈(0,π),∴sin α>0,cos α>0,∴sin α-cos α符号不确定,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-,∴sin α-cos α=±.
6.-　∵α是第三象限角且cos α=-,
∴sin α=-=-,∴tan α=.
7.-　(方法一)由题可知cos α≠0,分子分母同除以cos α,得,解得tan α=-.
(方法二),
即16(sin α+2cos α)=5(5cos α-sin α),
整理得21sin α=-7cos α,∴tan α=-.
8.3　原式=sin θ=sin θ·=3.
9.(1)解因为α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0.
原式=tan α=tan α=tan α·==-1.
(2)证明
=
==1.
10.A　,因为sin 4<0,cos 3<0,所以原式==-2-1=-3.
11.A　sin α(sin α-cos α)=sin2α-sin αcos α=,
将tan α=-代入,得原式=.
12.B　根据题意,得=2,所以sin x>0,cos x<0,所以x是第二象限角,则x∈,π.
13.　由题意知cos A>0,即A为锐角.将sin A=两边平方,得2sin2A=3cos A.∴2cos2A+3cos A-2=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去),∴A=.
14.-　因为,
所以=-.
15.1　∵sin α+cos α=1,
∴(sin α+cos α)2=sin2α+2sin αcos α+cos2α=1,
又sin2α+cos2α=1,∴sin αcos α=0,
∴sin α=0或cos α=0.
当sin α=0时,cos α=1,此时有sinnα+cosnα=1;
当cos α=0时,sin α=1,也有sinnα+cosnα=1,
∴sinnα+cosnα=1.
16.证明左边=
=
==右边,故原等式成立.
17.解因为sin α,cos α为方程4x2-4mx+2m-1=0的两个实根,所以Δ=16(m2-2m+1)≥0且sin α+cos α=m,sin αcos α=.
代入(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,得2m2-2m-1=0,
解得m=.又因为α∈-,0,
所以sin α<0,cos α>0,所以sin αcos α=<0,
即m<,所以m=,
所以sin α+cos α=,sin αcos α=-,
所以sin α=-,cos α=.
又因为α∈-,0,所以α=-.
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