第4章　三角恒等变换 3.2　半角公式--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
3.2　半角公式
A级必备知识基础练
1.[探究点一]设5π<θ<6π,cos=a,则sin等于 (　　)
A. B.
C.- D.-
2.[探究点二]的值为(　　)
A.1 B. C. D.2
3.[探究点二]化简:=　　　　　.
4.[探究点三]求证:sin2x-tan+cos 2x=sin2x+.
B级关键能力提升练
5.化简sin+cos2+2sin2得(　　)
A.2+sin α
B.2+sinα-
C.2
D.2+sinα+
6.已知sin α=,cos(α+β)=,α,β均为锐角,则cos=(　　)
A.- B.
C. D.-
7.某同学在一次研究性学习中发现以下规律:
①sin 60°=;
②sin 120°=,请根据以上规律写出符合题意的一个等式　　　　　.(答案不唯一)
C级学科素养创新练
8.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理,成为我国古代数学的骄傲,后人称之为“赵爽弦图”.如图,它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,设直角三角形AFB中AF=a,BF=b,较小的锐角∠FAB=α.若(a+b)2=196,正方形ABCD的面积为100,则cos 2α=　　　　　,sin-cos=　　　　　.
3.2　半角公式
1.D　∵5π<θ<6π,∴,
∴sin=-=-.
2.C　原式=.
3.tan　原式==tan.
4.证明左边=sin2x+cos 2x
=sin2x·cos 2x
=sin xcos x+cos 2x
=sin 2x+cos 2x
=sin2x+=右边,
原等式得证.
5.C　原式=1+2sincos+1-cos2=2+sin α-cos-α=2+sin α-sin α=2.
6.B　因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π.
因为sin α=,所以cos α=.
因为cos(α+β)=,
所以sin(α+β)=.
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.因为0<,
所以cos.故选B.
7.sin 30°=只要符合公式sin α=且有意义即可
8.　-　由已知得a2+b2=100,(a+b)2=196,且a>b,解得a=8,b=6,所以cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=2×2-1=,因为0<α<,所以0<,所以sin,cos,所以sin-cos=-.
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