第5章　复数 2.2　复数的乘法与除法　2.3　复数乘法几何意义初探--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
2.2　复数的乘法与除法　*2.3　复数乘法几何意义初探
A级必备知识基础练
1.[探究点一]下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A.i(1+i)2 B.i2(1-i)
C.(1+i)2 D.i(1+i)
2.[探究点一·2024江苏镇江高三模拟]设z=,则z+=(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.[探究点一·2024云南大理高二检测]若(1+i)·(a+i)=-5+bi,其中a,b∈R,则b=(　　)
A.3 B.2 C.-2 D.-3
4.[探究点一]若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为(　　)
A.-6 B.-4 C.4 D.6
5.[探究点二](多选)若复数z=,则(　　)
A.z的共轭复数
B.|z|=
C.复数z的实部与虚部相等
D.复数z在复平面内对应的点在第四象限
6.[探究点一]已知z是纯虚数,是实数,那么z=　　　　　　.
7.[探究点三]已知复数z,为z的共轭复数,解方程z-3i·=1+3i,可得z=　　　　　.
B级关键能力提升练
8.设复数z=i,其中i是虚数单位,是z的共轭复数,下列判断中错误的是(　　)
A.z =1
B.z2=
C.z是方程x2-x+1=0的一个根
D.满足zn∈R的最小正整数n为3
9.(多选)若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共轭复数为,则(　　)
A.|z|=
B.z的实部是2
C.z的虚部是1
D.复数在复平面内对应的点在第一象限
10.若z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,其中a∈R,则等于　　　　　.
11.已知复数z1满足(z1-2)i=1+i,复数z2的虚部为2,且z1z2为实数,则z1=　　　　,z2=　　　　.
12.[2024江苏徐州高一检测]已知复数z=+1+i,i为虚数单位.
(1)求|z|和;
(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值.
C级学科素养创新练
13.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设u=,求证:u为纯虚数;
(3)在(2)的条件下,求ω-u2的最小值.
2.2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
1.C　i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数,故A错误;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,故B错误;(1+i)2=2i,是纯虚数,故C正确;i(1+i)=-1+i,不是纯虚数,故D错误.
2.C　由题得,z==-i,则=-i,故z+=-1.故选C.
3.D　∵(1+i)(a+i)=a+i+ai+i2=(a-1)+(a+1)i=-5+bi,∴解得故选D.
4.A　由题意可知,为纯虚数,所以解得a=-6.
5.BD　∵z=,∴z=i,则,故A错误;|z|=,故B正确;复数z的实部为,虚部为-,故复数z的实部与虚部不相等,故C错误;复数z在复平面内对应的点为,-,在第四象限,故D正确.故选BD.
6.-2i　设z=bi(b∈R,b≠0),则i是实数,所以b+2=0,即b=-2,所以z=-2i.
7.-1或-1+3i　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
∴z-3i·=(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=a2+b2-3b-3ai=1+3i,
∴解得
∴z=-1或z=-1+3i.
8.B　∵z=i,∴z2=i2=-i,i,z3=z2·z=-ii=-1.
对于A,z·=ii=1,故A正确;
对于B,z2=-,故B错误;
对于C,i2-i+1=-i-i+1=0,则z是方程x2-x+1=0的一个根,故C正确;
对于D,z=i,z2=-i,z3=-1,故D正确.
故选B.
9.ABD　由(1+i)z=3+i,得z==2-i,则|z|=,z的实部为2,虚部为-1,故A,B正确,C错误;复数=2+i,则在复平面内对应的点为(2,1),在第一象限,故D正确.
10.i　因为z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,所以a2-1=0,且a-1≠0,解得a=-1,因此=i.
11.3-i　6+2i　由(z1-2)i=1+i,得z1-2==(1+i)(-i)=1-i,∴z1=3-i.设z2=x+2i(x∈R),则z1z2=(3-i)(x+2i)=3x+2+(6-x)i.又z1z2为实数,∴x=6,∴z2=6+2i.
12.解(1)∵复数z=+1+i=+1+i=1-2i+1+i=2-i,
∴|z|==2+i.
(2)∵复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,
∴(2-i)2+m(2-i)+n=0,
∴4-4i+i2+2m-mi+n=0,∴(3+2m+n)-(m+4)i=0,
∴解得
13.(1)解设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则ω=z+=a+bi+=a+bi+=a++b-i.
∵ω是实数,∴b-=0.
又b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1.
此时ω=2a.
∵-1<ω<2,∴-即复数z的实部的取值范围为-,1.
(2)证明u=
=.
∵a2+b2=1,∴u=-i.
又b≠0,-∴-≠0,∴u是纯虚数.
(3)解由(1)(2)知,ω-u2=2a+=2a+=2a+=2(a+1)+-3.
由a∈-,1,知则(a+1)+≥2,
当且仅当a+1=,即a+1=1,a=0时,等号成立,
此时ω-u2取得最小值1.
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