第6章　立体几何初步 1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
A级必备知识基础练
1.[探究点一]如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是(　　)
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.三棱台
2.[探究点一](多选)如图,在四棱台A1B1C1D1-ABCD中,点O,O1分别为四边形ABCD,A1B1C1D1的对角线交点,则下列结论正确的是(　　)
A.若四棱台A1B1C1D1-ABCD是正四棱台,则棱锥O-A1B1C1D1是正四棱锥
B.几何体C1D1D-B1A1A是三棱柱
C.几何体A1C1D1-ACD是三棱台
D.三棱锥O-A1B1C1的高与四棱锥O1-ABCD的高相等
3.[探究点二]一个正三棱锥的底面边长为3,高为,则它的侧棱长为(　　)
A.2 B.2 C.3 D.4
4.[探究点一]一个棱台至少有　　　　个面,面数最少的棱台有　　　　个顶点,有　　　　条棱.
5.[探究点三·2024陕西咸阳高二检测]“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型,图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体,其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点,另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点).若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4,高为6的正四棱柱构成(图2),则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发,沿表面到达点D的最短路线长为　　　　　.
图1
图2
B级关键能力提升练
6.n棱柱(n∈N+,n≥3)的顶点数为V,棱数为E,面数为F,则V+F-E=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是,则这个长方体体对角线的长是　　　　　.
8.在五棱柱中,不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有　　　　　条.
C级学科素养创新练
9.经过三棱柱的三个顶点作截面,可以将三棱柱分割成几个三棱锥 试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中设计出分割方案.(请设计尽可能多的方案)
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
1.B　由题图知剩余的部分是四棱锥A'-BCC'B'.
2.ACD　由正棱台的定义知四边形A1B1C1D1是正方形,OO1是高,则由正棱锥的定义知O-A1B1C1D1是正四棱锥,选项A正确;
几何体中,没有任何两个侧面平行,不可能出现三棱柱,选项B错误;
将四棱台A1B1C1D1-ABCD沿轴截面A1C1CA分成两部分,其中几何体A1C1D1-ACD是三棱台,选项C正确;
三棱锥的高和四棱锥的高都是四棱台的高,都是两个平行平面之间的距离,所以相等,选项D正确.
故选ACD.
3.C　如图所示,正三棱锥S-ABC中,O为△ABC的中心,SO为正三棱锥的高,则SO=,AB=3,易知OA=,所以在Rt△SOA中,SA==3.
4.5　6　9
5.4+2　根据题意,一只蚂蚁从C点出发,到达D的最短路线可能有三条:①蚂蚁穿过棱ON,此时最短路线的长为EN+NF=4+4=8;②蚂蚁穿过棱EN和NF,此时最短路线的长为2(ME+CE)=×(4+)=4+2;③蚂蚁穿过棱EN和MF,此时最短路线的长为.比较可得,第②条路线最短,故蚂蚁从点C出发,沿表面到达点D的最短路线长为4+2.
6.D　由题可得,n棱柱的顶点数为2n,棱数为3n,面数为n+2,则V+F-E=2.故选D.
7.　设长方体长、宽、高分别为x,y,z,yz=,xz=,yx=,三式相乘得x2y2z2=6,即xyz=,解得x=,y=,z=1,所以.
8.10　由题意知,正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,且两点不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,正五棱柱的对角线共有2×5=10(条).
9.解一个三棱柱可以分割成3个三棱锥,有如下六种方案:
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