第6章　立体几何初步 2　直观图--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
§2　直观图
A级必备知识基础练
1.[探究点三](多选)已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一条边长为4,则此正方形的面积为(　　)
A.16 B.64
C.32 D.无法确定
2.[探究点三]水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一个(　　)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
3.[探究点三]如图所示,梯形A'B'C'D'是四边形ABCD用斜二测画法得到的直观图,A'D'=2B'C'=2,A'B'=1,则四边形ABCD的面积为(　　)
A.2 B.2 C.3 D.3
4.[探究点三]在如图所示的直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系中,四边形OABC为　　　　　(填具体形状),其面积为　　　　　 cm2.
5.[探究点一]在水平放置的平面上有一个边长为6 cm的等边三角形ABC,请画出其直观图,并写出简要作法.
B级关键能力提升练
6.(多选)如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,A'B'=2,A'C'=B'C'=,则在原平面图形△ABC中,有 (　　)
A.AC=BC B.AB=2
C.AC=2 D.S△ABC=4
7.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中长方体的长为　　　　cm,宽为　　　　cm,建筑物的高为　　　　cm.
C级学科素养创新练
8.如图所示,在△ABC中,AC=12 cm,AC边上的高BD=12 cm.
(1)画出水平放置的△ABC的直观图;
(2)求直观图的面积.
§2　直观图
1.AB　等于4的一边在原图形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面积为16或64.
2.A　由△ABC的直观图知,在△ABC中,AO⊥BC.∵A'O'=,∴AO=.∵B'O'=C'O'=1,∴BC=2,故AB=AC=2,∴△ABC为等边三角形.
3.C
4.矩形　8　由斜二测画法可知,在四边形OABC中,OA⊥OC,OA=O'A'=2 cm,OC=2O'C'=4 cm,所以四边形OABC是矩形,其面积为2×4=8(cm2).
5.解作法:作坐标系x'O'y',使得∠x'O'y'=45°,
在x'轴上取A'B'=6 cm,且O'为A'B'的中点,
在y'轴上取O'C'=OC= cm,连接A'C',B'C',则△A'B'C'为△ABC的直观图.
6.BD　在直观图△A'B'C'中,过C'作C'D'⊥A'B'于D'(图略).∵A'B'=2,A'C'=B'C'=,
∴A'D'=1,C'D'==2.
又∠C'O'D'=45°,∴O'D'=2,O'A'=1,O'C'=2,
∴利用斜二测画法将直观图△A'B'C'还原为原平面图形△ABC,如图.
OC=4,OA=1,AB=2,故选项B正确;
又AC=,BC=,故选项A,C错误;
S△ABC=×AB×OC=×2×4=4,故选项D正确.
故选BD.
7.4　0.5　3.6　由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm,1 cm,2 cm,四棱锥的高为1.6 cm,所以长方体的直观图的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,四棱锥的直观图的高为1.6 cm.所以直观图中建筑物的高为2+1.6=3.6(cm).
8.解(1)①以D为原点,AC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图①.
图①
图②
②画出对应的x'轴,y'轴,使∠x'D'y'=45°,
在x'轴上取点A',C',使D'A'=DA,D'C'=DC.
在y'轴上取点B',使D'B'=DB,
连接A'B',C'B',则△A'B'C'即为△ABC的直观图,如图②.
(2)在图②中,作B'E⊥A'C',E为垂足.
∵D'B'=DB=6 cm,∠B'D'E=45°,
∴B'E=6×=3 cm,
∴S△A'B'C'=×A'C'×B'E=×12×3=18(cm2).
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