第6章　立体几何初步 3.1-3.2　第1课时　关于平面的3个基本事实和推论--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识　3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　关于平面的3个基本事实和推论
A级必备知识基础练
1.[探究点一]如果直线a 平面α,直线b 平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则(　　)
A.l α B.l α
C.l∩α=M D.l∩α=N
2.[探究点二](多选)下列说法不正确的是(　　)
A.三点可以确定一个平面
B.空间中两条直线能确定一个平面
C.共点的三条直线确定一个平面
D.圆和平行四边形都可以表示一个平面
3.[探究点二](1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定　　　　个平面.
(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定　　　　个平面.
4.[探究点二]给出以下四个命题:①不共面的四点中,任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.其中真命题有　　　　　.(填序号)
5.[探究点三]若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,求证:O,C,D三点共线.
6.[探究点四]如图,设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,且AB∥A1B1,BC∥B1C1,CA∥C1A1,求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
B级关键能力提升练
7.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则(　　)
A.A,C,O1,D1四点共面
B.D,E,G,F四点共面
C.A,E,F,D1四点共面
D.G,E,O1,O2四点共面
8.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若EF与HG交于点M,则(　　)
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上
D.M不在直线AC上,也不在直线BD上
9.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是　　　　　.
10.如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.
C级学科素养创新练
11.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　关于平面的3个基本事实和推论
1.A　∵M∈a,a α,∴M∈α.∵N∈b,b α,∴N∈α.又M,N∈l,∴l α.
2.ABC　不共线的三点有且仅有一个平面,故A错误;只有两条平行或相交的直线才能确定一个平面,故B错误;当三条直线相交于一点时,可以确定三个平面,例如三棱锥中相交于一点的三条侧棱,故C错误;圆和平行四边形是平面图形,可以用来表示平面,故D正确.
3.(1)4　(2)7　(1)空间任意4点,没有任何3点共线,可以看作是三棱锥,所以它们最多确定4个平面;
(2)空间5点,其中有4点共面,可以看作四棱锥,四个侧面,一个底面,两个过顶点和底面的对角顶点的两个平面,共7个平面.
4.①　①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确;②如图,两个相交平面有
三个公共点A,B,C,但A,B,C,D,E不共面,所以②不正确;③显然不正确;④空间四边形的四条边可以不在一个平面上,所以④不正确.
5.证明如图,∵AC∥BD,
∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=CD.
∵l∩α=O,∴O∈α.
又O∈AB,AB β,∴O∈β,∴O∈CD,
∴O,C,D三点共线.
6.证明不妨设AB≠A1B1,则四边形AA1B1B为梯形,
∴AA1与BB1相交,设其交点为S,则S∈AA1,S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1,
∴S∈平面BCC1B1.
同理可证,S∈平面ACC1A1,
∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上,
即S∈CC1,∴AA1,BB1,CC1三线共点.
7.ACD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,四边形A1B1C1D1的中心.
对于A,可知O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内;
对于B,因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;
对于C,由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;
对于D,连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面(图略).
故选ACD.
8.A　由题意得,EF在平面ABC内,HG在平面ACD内,EF与HG交于点M,所以M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.
9.36　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”,12条棱长共对应着24个“正交线面对”;正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.
10.解易得S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在平面SBD和平面SAC的交线上.
由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.
∵E∈AC,AC 平面SAC,
∴E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上.
连接SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.
11. 证明因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.
又=2,
所以GH∥BD,且GH=BD,
所以EF∥GH,且EF>GH,所以四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,
因为EG 平面ABC,FH 平面ACD,
所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=AC,
所以P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.
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