第6章　立体几何初步 3.1-3.2　第2课时　基本事实4、异面直线、等角定理--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
第2课时　基本事实4、异面直线、等角定理
A级必备知识基础练
1.[探究点二]分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
2.[探究点三]已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α=60°,则β=(　　)
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
3.[探究点二、四]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(　　)
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
4.[探究点一]在四棱锥P-ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH=　　　　　.
5.[探究点四]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,AE=,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为　　　　　.
6.[探究点一、五]如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥AF,BE=AF,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)判断C,D,F,E四点是否共面 为什么
B级关键能力提升练
7.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.MN≥(AC+BD)
B.MN≤(AC+BD)
C.MN=(AC+BD)
D.MN<(AC+BD)
9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点,则直线AB1和直线CC1所成的角的大小为　　　　,直线AB1和直线EF所成的角的大小为　　　　　.
10.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:
(1)D1E∥BF;
(2)∠B1BF=∠D1EA1.
C级学科素养创新练
11.如图所示,圆锥的底面直径AB=4,高OC=2,D为底面圆周上的一点,且∠AOD=120°,则直线AD与BC所成的角为　　　　　.
12.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长.
第2课时　基本事实4、异面直线、等角定理
1.D
2.D　由等角定理知,β与α相等或互补,故β=60°或120°.
3.C　由于直线CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故直线C1C与B1E共面,故A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而直线AE与平面C1B1BC相交于点E,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,故B错误;同理,AE与B1C1是异面直线,故C正确;而直线AE与B1C1所成的角就是直线AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,故D错误.故选C.
4.2　由题意知,EF为△PAC的中位线,则EF∥AC,EF=AC.同理,GH为△ABC的中位线,则GH∥AC,GH=AC,故EF=GH,故GH=2.
5.　设棱长为1,连接AD1(图略).∵A1B1∥C1D1,
∴∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角.
∵AD1=,AE=,D1E=,则AE2=A+D1E2,
故△AED1为直角三角形,
∴在Rt△AED1中,cos∠AED1=.
6.(1)证明∵G,H分别为FA,FD的中点,
∴GH∥AD,GH=AD.
又BC∥AD,BC=AD,
∴GH∥BC,GH=BC,
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解C,D,F,E四点共面.理由如下:
∵BE∥AF,BE=AF,G为FA的中点,
∴BE∥GF,BE=GF,
∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH,BG=CH,∴EF∥CH,
∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.
7.C　设正方体棱长为1,DP=x,则x∈[0,1],连接AD1,AP(图略).由AD1∥BC1可知,∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角,
在△AD1P中,AD1=,AP=D1P=,
故cos∠AD1P=.
又x∈[0,1],∴cos∠AD1P=∈.
又∠AD1P∈(0,π),∴∠AD1P∈.故选C.
8. D　如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=AC,NE=BD,
所以ME+NE=(AC+BD).
在△MNE中,有ME+NE>MN,
所以MN<(AC+BD).
9. 45°　60°　连接DC1,易知DC1∥AB1,∴直线DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是直线AB1和CC1所成的角.
∵∠CC1D=45°,∴直线AB1和CC1所成的角的大小是45°.连接DA1,A1C1,
∵E,F分别为AD,AA1的中点,
∴EF∥A1D.
又AB1∥DC1,∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.易知△A1DC1是等边三角形,∴∠A1DC1=60°,即直线AB1和EF所成的角的大小是60°.
10. 证明(1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.
在矩形ABB1A1中,易得EM=A1B1,EM∥A1B1.
因为A1B1=C1D1,且A1B1∥C1D1,
所以EM=C1D1,且EM∥C1D1.
所以四边形EMC1D1为平行四边形.所以D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中,易得MB=C1F,且MB∥C1F.
所以BF∥C1M,所以D1E∥BF.
(2)由(1)知,ED1∥BF,BB1∥EA1.
因为∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同,
所以∠B1BF=∠D1EA1.
11.60°　如图,延长DO交底面圆于点E,连接BE,CE.因为AB,DE均为圆的直径,所以AD∥BE,且AD=BE,所以∠CBE(或其补角)即为异面直线AD与BC所成的角.
在△AOD中,AD=2OAsin 60°=2.
在△CBE中,CB=CE=BE=2,所以△CBE为正三角形,所以∠CBE=60°.
12. 解如图,连接CD1,AC.
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,
∴A1B∥CD1,
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°,
∴∠AD1C=90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面均为矩形,AD=CD,
∴AD1=CD1,
∴△ACD1是等腰直角三角形,
∴AD1=AC.
∵底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,∴AC=2×sin 60°×2=6,
∴AD1=AC=3,
∴AA1=.
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