第6章　立体几何初步 5.2　平面与平面垂直--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
5.2　平面与平面垂直
A级必备知识基础练
1.[探究点二]设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法中正确的是(　　)
A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
B.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β
C.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β
D.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β
2.[探究点二](多选)如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,则下列说法正确的有(　　)
A.平面PAD⊥平面PAB
B.平面PAD⊥平面PCD
C.平面PBC⊥平面PAB
D.平面PBC⊥平面PCD
3.[探究点一]已知正三棱锥S-ABC的所有棱长均为2,则侧面与底面所成二面角的余弦值为　.
4.[探究点三]如图所示,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1,求证:CF⊥平面BDE.
5.[探究点四]如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,△PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点.求证:
(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
B级关键能力提升练
6.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A',B',则AB∶A'B'等于(　　)
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3
7.在Rt△ABC中,C=90°,CA=,CB=,CD是斜边的高线.现将△ACD沿CD折起,使平面ACD⊥平面BCD,则折叠后AB的长度为(　　)
A.2 B. C. D.3
8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且四边形ABCD为菱形,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只填写一个正确的条件即可)
9.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.求证:
(1)EF⊥CD;
(2)平面SCD⊥平面SCE.
C级学科素养创新练
10.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.
图1
图2
(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
5.2　平面与平面垂直
1.C　∵m∥α,m∥n,∴n∥α或n α.又n⊥β,∴α⊥β.
2.ABC　∵PA⊥平面ABCD,且AB,CD 平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥CD.又四边形ABCD为矩形,∴AD⊥CD,AD⊥AB.∵PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,∴CD⊥平面PAD,AB⊥平面PAD.同理,BC⊥平面PAB,∴平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PAB,故选ABC.
3.　如图,取BC的中点E,连接SE,AE,
∵SB=SC=AB=AC,
∴SE⊥BC,AE⊥BC,∴∠SEA即为所求二面角的平面角.
∵SA=2,SE=AE=,
∴cos∠SEA=.
4.证明如图所示,设AC∩BD=G,连接EG,FG.
由AB=,知CG=1,则EF=CG=CE.
又EF∥CG,所以四边形CEFG为菱形,所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,
所以BD⊥平面ACEF.
因为CF 平面ACEF,所以BD⊥CF.
又BD∩EG=G,BD,EG 平面BDE,
所以CF⊥平面BDE.
5.证明(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG 平面PAD,
∴PG⊥平面ABCD.
又BG 平面ABCD,∴PG⊥BG.
∵四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.
又AD∩PG=G,AD,PG 平面PAD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知,BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG 平面PBG,
∴AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG,∴AD⊥PB.
6.A　由已知条件可知∠BAB'=,∠ABA'=.
设AB=2a,则BB'=2asina,A'B=2acosa,∴在Rt△BB'A'中,得A'B'=a,∴AB∶A'B'=2∶1.
7.C　在直角三角形ABC中,C=90°,CA=,CB=,
可得AB==3,
由射影定理可得AC2=AD×AB,即6=3AD,可得AD=2,BD=AB-AD=3-2=1,
由于平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,AD 平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,
所以AD⊥平面BCD,即有AD⊥BD,
所以AB=.
故选C.
8.DM⊥PC(答案不唯一)　由题意得BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,∴PA⊥BD.
又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
∴BD⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC时,则BD∩DM=D,BD,DM 平面MBD,
∴PC⊥平面MBD.
又PC 平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
9.证明(1)连接AC,AF,BF,
因为SA⊥平面ABCD,
所以AF为Rt△SAC斜边SC上的中线,所以AF=SC.
又因为四边形ABCD是正方形,所以CB⊥AB.
而由SA⊥平面ABCD,得CB⊥SA,
所以CB⊥平面SAB,所以CB⊥SB,
所以BF为Rt△SBC斜边SC上的中线,
所以BF=SC,所以△AFB为等腰三角形.
因为E为AB的中点,所以EF⊥AB.
又CD∥AB,所以EF⊥CD.
(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE,
所以SE=EC,即△SEC是等腰三角形,所以EF⊥SC.
又因为EF⊥CD,SC∩CD=C,所以EF⊥平面SCD.
又EF 平面SCE,所以平面SCD⊥平面SCE.
10.(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,
故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.
又因为AB 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,
故DE⊥CG.
由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,
故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.
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