第6章　立体几何初步 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
§6　简单几何体的再认识
6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　)
A.12π B.12π
C.8π D.10π
2.[探究点二]正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°,则该四棱锥的侧面积为(　　)
A.32 B.48
C.64 D.
3.[探究点一]若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个底角为45°,则这个圆台的侧面积是(　　)
A.27π B.27π
C.9π D.36π
4.[探究点二]如图,底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8,则棱柱的侧面积为　　　　　.
5.[探究点三]如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体,该组合体是由一圆台和一圆柱组成的,其中O为圆台下底面圆心,O2,O1分别为圆柱上、下底面的圆心,经实验测量得到圆柱上、下底面圆的半径为2 cm,O1O2=5 cm,OO1=4 cm,圆台下底面圆半径为5 cm,则该组合体的表面积为(　　)
A.42π cm2 B.84π cm2
C.36π cm2 D.64π cm2
6.[探究点三]已知正四棱锥的侧面积是底面面积的2倍,高是3,求它的表面积.
B级关键能力提升练
7.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥的轴截面的面积为(　　)
A.18 B.18 C.12 D.24
8.鲁班锁(也称孔明锁、难人木)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装,如图①,这是一种常见的鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的直观图.已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为(　　)
图①
图②
A.8(6+6) B.6+8
C.8(6+6) D.6(8+8)
9.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm,母线最长为80 cm,最短为50 cm,则斜截圆柱的侧面积S=　　　cm2.
10.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E是CC1,BC的中点,AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长;
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
C级学科素养创新练
11.如图,AB是圆柱的底面直径,PA是圆柱的母线,且AB=PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值.
§6　简单几何体的再认识
6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
1.B　因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2,底面圆的直径为2,所以该圆柱的表面积为2×π×()2+2π××2=12π.故选B.
2.A　如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,交于O点,连接PO,取BC的中点E,连接PE,OE,易知PO为正四棱锥P-ABCD的高,PE为斜高,则OE=PE.因为OE=AB=2,所以PE=4,则S侧=4××4×4=32.
3.B　设圆台上底半径为r1,下底半径为r2,母线长为l,如图所示,2r2=2r1+6=4r1,所以r1=3,r2=6.S圆台侧=π(r1+r2)l=π(3+6)×3=27π.
4.20　设底面边长为x,高为h,则有AC=,BD=.
∵底面ABCD为菱形,∴AC与BD互相垂直平分,
∴x2=,∴x=,
∴S侧=4xh=4××h=20.
5.B　根据题意,圆柱上、下底面圆的半径为2 cm,O1O2=5 cm,OO1=4 cm,则圆柱的上底面面积为4π cm2,圆柱的侧面面积为4π×5=20π cm2.由圆台下底面圆半径为5 cm,得圆台的下底面面积为25π cm2,圆台的母线长为=5 cm,所以圆台的侧面面积为π(2+5)×5=35π cm2,故该组合体的表面积为4π+20π+25π+35π=84π cm2.故选B.
6.解如图,
设PO=3,PE是斜高,
∵S侧=2S底,
∴4××BC×PE=2BC2,
∴BC=PE.
在Rt△POE中,PO=3,OE=BC=PE,
∴9+2=PE2,∴PE=2,
∴S底=BC2=PE2=(2)2=12,
S侧=2S底=2×12=24,
∴S表=S底+S侧=12+24=36.
7.B　设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则πr2+πrl=36π,化为r2+rl=36,2πr=l·,可得l=3r,解得r=3,l=9,h==6.该圆锥轴截面的面积为×2r×h=rh=3×6=18.
8.A　由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2 的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该几何体的表面积为S=6×(2+2)2-4×+8××2×2=8(6+6).故选A.
9.2 600π　如图,假设还有一个同样的斜截圆柱,拼在其上面,则构成了一个圆柱,于是S=S圆柱侧=×40π×(80+50)=2 600π(cm2).
10.解(1)由题意可得,BE=EC=1,DE=AE=2×sin 60°=,根据正三棱柱的定义可得CC1⊥平面ABC.
又BC 平面ABC,
所以CC1⊥BC,
故在Rt△ECD中,CD=.
所以正三棱柱的侧棱长为2.
(2)S底面积=2S△ABC=2××2×=2,S侧面积=3=3×2×2=12.
所以S表面积=S侧面积+S底面积=12+2.
11.解(1)由题意得,圆柱的底面半径为1,高为2,所以圆柱的侧面积为2π×1×2=4π.
(2)
将△PAC绕PA所在直线旋转到△PAC'的位置,使其与平面PAB共面,且C'在AB的反向延长线上.此时C'D与PA的交点即为使CE+ED取得最小值的点E的位置.
∵PA=AB=2,
∴∠PBA=,BD=BP=.
又BC'=BA+AC'=2+1=3,
∴在△C'BD中,由余弦定理得
C'D=,
∴CE+ED的最小值为.
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