第6章　立体几何初步 6.3　球的表面积和体积--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
6.3　球的表面积和体积
A级必备知识基础练
1.[探究点三]设正方体的表面积为24 cm2,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是(　　)
A.π cm3 B.π cm3
C.π cm3 D.π cm3
2.[探究点一、二]一平面截一球得到直径为6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4 cm,则该球的体积是(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
3.[探究点二·2024贵州贵阳高一期中]两平行平面截半径为13的球,若截面面积分别为25π和144π,则这两个平面间的距离是(　　)
A.7 B.17
C.5或12 D.7或17
4.[探究点一]如图所示,一个底面半径为R的圆柱形量杯中,装有适量的水,若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则=　　　　　.
5.[探究点三]已知在三棱锥D-ABC中,AD=2,AC=,BC⊥BD,AD⊥AC,则三棱锥的外接球的表面积为　　　　　.
B级关键能力提升练
6.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.意思是:球的体积V乘16,除以9,再开立方,即为球的直径d,由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为(　　)
A.S=d2 B.S=d2
C.S=d2 D.S=d2
7.若长方体的顶点都在半径为3的球面上,则该长方体表面积的最大值为　　　　　.
8.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积和体积.(其中∠BAC=30°)
C级学科素养创新练
9.已知一个表面积为120的正方体的四个顶点在半球的球面上,四个顶点在半球的底面上,求半球的表面积.
6.3　球的表面积和体积
1.D　由题得,正方体的棱长为2 cm,故这个球的直径为2 cm,故这个球的体积为π×3=π cm3.
2.C　如图,根据题意,OO1=4 cm,O1A=3 cm,∴|OA|=R==5 cm,故该球的体积V=πR3= cm3.故选C.
3.D　设两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,
图1
图2
由π=25π,得r1=5.由π=144π,得r2=12.
如图1所示,当球的球心在两个平行平面的外侧时,这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差,即=7.
如图2所示,当球的球心在两个平行平面之间时,这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和,即d2+d1==12+5=17.故选D.
4.　由题可得,πr3=πR2·r,∴.
5.6π　设DC的中点为O,如图.因为DA⊥AC,所以CD的中点O为△ADC外接圆圆心.因为DB⊥BC,所以CD的中点O为△BDC外接圆圆心,所以点O到点A,B,C,D的距离相等,即O为三棱锥外接球的球心.又因为AD=2,AC=,所以CD=,所以三棱锥外接球的半径R=,所以三棱锥外接球的表面积为4π×2=6π.
6.A　因为=d,所以V=3,
所以π=,所以S=4π2=4×d2.
故选A.
7.72　设长方体同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,即长方体的表面积为S=2ab+2ac+2bc.
又由于2ab+2ac+2bc≤a2+b2+a2+c2+b2+c2=2(a2+b2+c2),当且仅当a=b=c时,等号成立.
又a2+b2+c2=36,所以该长方体表面积的最大值为72.
8.解过点C作CO1⊥AB于点O1.
由题得,∠BCA=90°.
∵∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=R,BC=R,CO1=R,
∴S球=4πR2,=π×R×R=πR2,
=π×R×R=πR2,
∴S几何体=S球+=4πR2+πR2+πR2=πR2.
∵V球=πR3,AO1·π·CπR2·AO1,BO1·π·CπR2·BO1,
∴V几何体=V球-()=πR3-πR2(AO1+BO1)=πR3-R3=πR3.
9.解如图所示为过正方体对角面的截面图.
设正方体的棱长为a,半球的半径为R,
由6a2=120,得a2=20,在Rt△AOB中,AB=a,OB=a,由勾股定理,得R2=a2+=30.所以半球的表面积为S=2πR2+πR2=3πR2=3×30π=90π.
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