8.1.2 全概率公式 同步练习 (含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 8.1.2 全概率公式 同步练习 (含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 36.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-20 07:58:43 | ||
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文档简介
8．1.2 全概率公式
一、 单项选择题
1 已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于( )
A. B. C. D.
2 盲盒里有大小、形状完全相同的3个绿球，4个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球，则取出的球全是绿球的概率为( )
A. B.
C. D.
3 (2024德州开学考试)某中学开展高二年级“拔尖创新人才”学科素养评估活动，其中物化生、政史地、物化政三种组合人数之比为6∶3∶1，这三个组合中分别有10%，6%，2%的学生参与此次活动，现从这三个组合中任选一名学生，这名学生参与此次活动的概率为( )
A. 0.044 B. 0.18 C. 0.034 D. 0.08
4 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( )
A. B. C. D.
5 (2024长春月考)某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为.已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为( )
A. B. C. D.
6 (2024信阳二模)随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，下列说法中正确的是( )
A. 第一次就接通电话的概率是
B. 若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是
C. 拨号不超过三次就接通电话的概率是
D. 若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次就接通电话的概率是
8 (2024东营开学考试)一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别用A1，A2和A3表示事件由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品；再从乙盒中随机取出一产品，用B表示事件由乙盒取出的产品是一等品，则下列结论中正确的是( )
A. P(B)＝
B. P(B|A1)＝
C. 事件B与事件A1相互独立
D. 事件A1，A2，A3两两互斥
三、 填空题
9 两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则取到这件产品是合格品的概率为________．
10 现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有0.25，小明同学从这8道题中随机选择1题，则小明做对该题的概率为________．
11 (2024上海期末)某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为________．
四、 解答题
12 (2024重庆期中)甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
甲 乙 丙
第一轮回答正确的概率
第二轮回答正确的概率
若三人各自比赛时互不影响．
(1) 求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；
(2) 在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲、乙、丙同时通关的概率．
13 (2024常州开学考试)某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.3 0.5 0.2
球队胜率 0.8 0.6 0.7
(1) 当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2) 当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；
(3) 如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由．
8．1.2 全概率公式
1. C P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋(1－)×＝.
2. B 记“取出的球全是绿球”为事件B，“掷出i(i＝1，2，3)点”为事件Ai，则P(Ai)＝.又因为从盲盒里每次取出i个球的所有取法种数是C，所以基本事件总数为C.又从袋中每次取出i个绿球的所有取法种数是C，即事件所含基本事件数为C，所以掷出i点，取出的球全是绿球的概率为P(B|Ai)＝，则P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝×(＋＋)＝×(＋＋)＝.
3. D 设事件A为“这名学生参与此次活动”，事件B1为“这名学生来自物化生组合”，事件B2为“这名学生来自政史地组合”，事件B3为“这名学生来自物化政组合”，则P(B1)＝＝0.6，P(B2)＝＝0.3，P(B3)＝＝0.1，P(A|B1)＝0.1，P(A|B2)＝0.06，P(A|B3)＝0.02.由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.6×0.1＋0.3×0.06＋0.1×0.02＝0.08.
4. A 记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝×＋×＝.
5. A 设“第一周去自由校区开会”为事件A，“第二周去自由校区开会”为事件B，则P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝，则P(A|B)＝＝＝＝.
6. B 设事件A表示“自驾去上班”，事件B表示“坐公交车去上班”，事件C表示“骑共享单车去上班”，事件D表示“迟到”．由题意可知P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(D|A)＝，P(D|B)＝，P(D|C)＝，则P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)·P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝×(＋＋)＝，P(AD)＝P(A)P(D|A)＝×＝.若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是P(A|D)＝＝＝.
7. ACD 设事件Ai＝“第i次接通电话”，i＝1，2，3，…，10，事件B＝“拨号不超过3次就接通电话”，则P(A1)＝，故A正确；若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是，故B错误；因为B＝A1∪A2∪ A3，所以P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P( A3)＝＋×＋××＝，故C正确；若已知最后一位数字是奇数，则P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P( A3)＝＋×＋××＝，故D正确．故选ACD.
8. ABD 因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，所以P(A1)＝＝，P(A2)＝，P(A3)＝.因为乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品，所以P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝P(B|A3)＝＝，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋××2＝，故A，B正确；因为P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝×＝，P(A1)＝，P(B)＝，所以P(A1B)≠P(A1)·P(B)，则两事件不相互独立，故C错误；根据互斥事件的定义可知，A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．故选ABD.
9. 0.957 设B为事件“取到合格品”，Ai为事件“取到的产品来自第i(i＝1，2)批”，则P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.7，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.96.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.3×0.95＋0.7×0.96＝0.957.
10. 0.737 5 设事件A表示“小明答对”，事件B表示“小明选到有思路的题”，则小明从这8道题中随机选1题，他答对该题的概率为P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.75×0.9＋0.25×0.25＝0.737 5.
11. 用Ai(i＝0，1，2)表示事件“第一次取到i个新球”，用B表示事件“第二次训练时恰好取到1个新球”，则Ω＝A0＋A1＋A2，且A0，A1，A2两两互斥，P(A0)＝＝，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B|A0)＝＝，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，所以P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＋×＝，所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为.
12. (1) 记事件A为“甲通关”，事件B为“乙通关”，事件C为“丙通关”，
则P(A)＝×＝，P()＝，P(B)＝×＝，P()＝.
因为甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”，
所以甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于1－P( )＝1－×＝.
故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为.
(2) 由题意，得P(C)＝×＝，P()＝.
记事件D为“三人小组获得团体奖”，
则P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝＝.
又甲、乙、丙同时通关的概率P(ABC)＝××＝，
所以P(ABC|D)＝＝×＝.
故在该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲、乙、丙同时通关的概率为.
13. (1) 用A1表示事件“甲出任边锋”，A2表示事件“甲出任前卫”，A3表示事件“甲出任中场”，用B表示事件“球队赢球”，
则甲出场时，球队赢球的概率为P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.3×0.8＋0.5×0.6＋0.2×0.7＝0.68，
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为1－P(B)＝1－0.68＝0.32.
(2) 由P(B)＝0.68，
得P(A1|B)＝＝＝，
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为.
(3) 因为P(A2|B)＝＝＝，P(A3|B)＝＝＝.
又P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B)，
所以如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能担任前卫．
一、 单项选择题
1 已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于( )
A. B. C. D.
2 盲盒里有大小、形状完全相同的3个绿球，4个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球，则取出的球全是绿球的概率为( )
A. B.
C. D.
3 (2024德州开学考试)某中学开展高二年级“拔尖创新人才”学科素养评估活动，其中物化生、政史地、物化政三种组合人数之比为6∶3∶1，这三个组合中分别有10%，6%，2%的学生参与此次活动，现从这三个组合中任选一名学生，这名学生参与此次活动的概率为( )
A. 0.044 B. 0.18 C. 0.034 D. 0.08
4 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( )
A. B. C. D.
5 (2024长春月考)某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为.已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为( )
A. B. C. D.
6 (2024信阳二模)随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，下列说法中正确的是( )
A. 第一次就接通电话的概率是
B. 若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是
C. 拨号不超过三次就接通电话的概率是
D. 若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次就接通电话的概率是
8 (2024东营开学考试)一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别用A1，A2和A3表示事件由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品；再从乙盒中随机取出一产品，用B表示事件由乙盒取出的产品是一等品，则下列结论中正确的是( )
A. P(B)＝
B. P(B|A1)＝
C. 事件B与事件A1相互独立
D. 事件A1，A2，A3两两互斥
三、 填空题
9 两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则取到这件产品是合格品的概率为________．
10 现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有0.25，小明同学从这8道题中随机选择1题，则小明做对该题的概率为________．
11 (2024上海期末)某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为________．
四、 解答题
12 (2024重庆期中)甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
甲 乙 丙
第一轮回答正确的概率
第二轮回答正确的概率
若三人各自比赛时互不影响．
(1) 求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；
(2) 在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲、乙、丙同时通关的概率．
13 (2024常州开学考试)某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.3 0.5 0.2
球队胜率 0.8 0.6 0.7
(1) 当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2) 当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；
(3) 如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由．
8．1.2 全概率公式
1. C P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋(1－)×＝.
2. B 记“取出的球全是绿球”为事件B，“掷出i(i＝1，2，3)点”为事件Ai，则P(Ai)＝.又因为从盲盒里每次取出i个球的所有取法种数是C，所以基本事件总数为C.又从袋中每次取出i个绿球的所有取法种数是C，即事件所含基本事件数为C，所以掷出i点，取出的球全是绿球的概率为P(B|Ai)＝，则P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝×(＋＋)＝×(＋＋)＝.
3. D 设事件A为“这名学生参与此次活动”，事件B1为“这名学生来自物化生组合”，事件B2为“这名学生来自政史地组合”，事件B3为“这名学生来自物化政组合”，则P(B1)＝＝0.6，P(B2)＝＝0.3，P(B3)＝＝0.1，P(A|B1)＝0.1，P(A|B2)＝0.06，P(A|B3)＝0.02.由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.6×0.1＋0.3×0.06＋0.1×0.02＝0.08.
4. A 记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝×＋×＝.
5. A 设“第一周去自由校区开会”为事件A，“第二周去自由校区开会”为事件B，则P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝，则P(A|B)＝＝＝＝.
6. B 设事件A表示“自驾去上班”，事件B表示“坐公交车去上班”，事件C表示“骑共享单车去上班”，事件D表示“迟到”．由题意可知P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(D|A)＝，P(D|B)＝，P(D|C)＝，则P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)·P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝×(＋＋)＝，P(AD)＝P(A)P(D|A)＝×＝.若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是P(A|D)＝＝＝.
7. ACD 设事件Ai＝“第i次接通电话”，i＝1，2，3，…，10，事件B＝“拨号不超过3次就接通电话”，则P(A1)＝，故A正确；若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是，故B错误；因为B＝A1∪A2∪ A3，所以P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P( A3)＝＋×＋××＝，故C正确；若已知最后一位数字是奇数，则P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P( A3)＝＋×＋××＝，故D正确．故选ACD.
8. ABD 因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，所以P(A1)＝＝，P(A2)＝，P(A3)＝.因为乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品，所以P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝P(B|A3)＝＝，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋××2＝，故A，B正确；因为P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝×＝，P(A1)＝，P(B)＝，所以P(A1B)≠P(A1)·P(B)，则两事件不相互独立，故C错误；根据互斥事件的定义可知，A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．故选ABD.
9. 0.957 设B为事件“取到合格品”，Ai为事件“取到的产品来自第i(i＝1，2)批”，则P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.7，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.96.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.3×0.95＋0.7×0.96＝0.957.
10. 0.737 5 设事件A表示“小明答对”，事件B表示“小明选到有思路的题”，则小明从这8道题中随机选1题，他答对该题的概率为P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.75×0.9＋0.25×0.25＝0.737 5.
11. 用Ai(i＝0，1，2)表示事件“第一次取到i个新球”，用B表示事件“第二次训练时恰好取到1个新球”，则Ω＝A0＋A1＋A2，且A0，A1，A2两两互斥，P(A0)＝＝，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B|A0)＝＝，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，所以P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＋×＝，所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为.
12. (1) 记事件A为“甲通关”，事件B为“乙通关”，事件C为“丙通关”，
则P(A)＝×＝，P()＝，P(B)＝×＝，P()＝.
因为甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”，
所以甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于1－P( )＝1－×＝.
故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为.
(2) 由题意，得P(C)＝×＝，P()＝.
记事件D为“三人小组获得团体奖”，
则P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝＝.
又甲、乙、丙同时通关的概率P(ABC)＝××＝，
所以P(ABC|D)＝＝×＝.
故在该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲、乙、丙同时通关的概率为.
13. (1) 用A1表示事件“甲出任边锋”，A2表示事件“甲出任前卫”，A3表示事件“甲出任中场”，用B表示事件“球队赢球”，
则甲出场时，球队赢球的概率为P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.3×0.8＋0.5×0.6＋0.2×0.7＝0.68，
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为1－P(B)＝1－0.68＝0.32.
(2) 由P(B)＝0.68，
得P(A1|B)＝＝＝，
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为.
(3) 因为P(A2|B)＝＝＝，P(A3|B)＝＝＝.
又P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B)，
所以如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能担任前卫．