8.2.3　二项分布 同步练习 (含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8．2.3　二 项 分 布
一、 单项选择题
1 (2024河南月考)已知一批产品的次品率为0.3，从中有放回地随机抽取50次，X表示抽到的次品的件数，则D(X)的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 9.5 B. 10.5 C. 11.5 D. 12.5
2 (2024成都开学考试)甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)，假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以3：1获胜的概率可以表示为(　　)
A. (1－p)p3 B. 1－(1－p)p3
C. 3(1－p)p3 D. 1－(1－p)3p
3 (2024江西期末)设随机变量X～B(12，p)，若E(X)≤4，则D(X)的最大值为(　　)
A. 4 B. 3 C. D.
4 (2024长春月考)在足球比赛中，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球．若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024烟台月考)2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势，计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广．通过调研得到当地村民愿意种植A，B，C的概率分别为，，，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6 (2024广州期末)泊松分布的概率分布列为P(x＝k)＝e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X～B(n，p)，P(X＝i)＝(n∈N).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于3%的概率约为(参考数据：≈0.368)(　　)
A. 99% B. 97%
C. 92% D. 74%
二、 多项选择题
7 (2024江苏月考)下列例子中，随机变量X服从二项分布的有(　　)
A. X表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数
B. 某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标的所需次数
C. 有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数
D. 有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数
8 (2024抚顺期末)已知X～B(3，p)(0A. p＝ B. E(X)＝
C. D(X)＝ D. E(Y)－1＝2D(Y)
三、 填空题
9 已知随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝20，则p＝________．
10 (2024佛山月考)甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取五场三胜制(当一队赢得三场比赛时，该队获胜，比赛结束)，根据以往比赛成绩可知，甲队每场比赛获胜的概率为.比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为________．
11 (2024烟台月考)某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量X，则D(2X)＝________，该同学投篮最有可能命中________次．
四、 解答题
12 (2024南通月考)会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60%，女会员占40%.现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为.
(1) 随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2) 从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的概率分布和数学期望．
13 (2024福建开学考试)驾驶员考试(机动车驾驶员考试)是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考试科目(以下简称“科目一”)、场地驾驶技能考试科目(以下简称“科目二”)、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目(以下简称“科目三”).申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一的平均通过率为，科目二的平均通过率为，科目三的平均通过率为.该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．
(1) 记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的概率分布、数学期望和方差；
(2) 根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证？(我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生)
参考数据：≈0.997 5，lg 2≈0.301 0.
8．2.3　二 项 分 布
1. B　由题意知，X～B(50，0.3)，故由二项分布的性质可得D(X)＝50×0.3×(1－0.3)＝10.5.
2. C　甲队以3：1获胜，则两队共比赛了4局，且第4局一定是甲获胜，前3局里甲获胜了2局，故概率为Cp2(1－p)p，即3(1－p)p3.
3. C　由题意，得0<12p≤4，解得04. A　由题意，得门将每次扑出点球的概率为P＝×＝，若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数X～B(3，)，所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为D(X)＝3××(1－)＝.
5. D　4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人；②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B；③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B，故所求概率P＝C×()2×C××＋C×()2×C×()2＋C×()3×＝.
6. C　由题意，得n＝100，p＝0.01，泊松分布可作为二项分布的近似，此时λ＝100×0.01＝1，则P(X＝k)＝e-1，所以P(X＝0)＝e-1＝，P(X＝1)＝e-1＝ ，P(X＝2)＝e-1＝，所以次品率小于3%的概率约为P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋≈92%.
7. AC　对于A，设事件E为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则P(E)＝，则在n重伯努利试验中事件E恰好发生了k(k＝0，1，2，…，n)次的概率P(X＝k)＝C×()k×()n－k，符合二项分布的定义，即有X～B(n，)，故A正确；对于B，X的取值是1，2，3，…，n，P(X＝k)＝0.9×0.1k-1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，故B错误；C与D的区别是C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的，所以X不服从二项分布，对于C，X显然服从二项分布，且X～B(n，)，故C正确，D错误．故选AC.
8. BC　由题意，得4Cp3＋Cp2(1－p)＝p3＋3p2＝.因为函数f(p)＝p3＋3p2在区间(0，1)上单调递增，且f()＝，所以p＝，故A错误；因为E(X)＝np＝，D(X)＝np(1－p)＝，所以E(Y)－1＝E(2X＋1)－1＝2E(X)＋1－1＝3，D(Y)＝22D(X)＝3，则E(Y)－1＝D(Y)，故B，C正确，D错误．故选BC.
9. 0.2　由题意，得100p＝20，所以p＝0.2.
10. 　设事件A为“甲队最终获得胜利”，则分三种情况：①比赛进行三场，甲队均胜，则P1＝××＝；②比赛进行四场，甲队前三场恰好胜二场，输一场，第四场胜，则P2＝C×()2×(1－)×＝；③比赛进行五场，甲队第五场胜，前四场恰好胜二场，输二场，则P3＝C×()2×(1－)2×＝，则P(A)＝P1＋P2＋P3＝.
11. 7.68　10　由二项分布的定义知，X～B(12，0.8)，则D(2X)＝22D(X)＝4×12×0.8×(1－0.8)＝7.68.设该同学投篮最有可能命中m次，则
即解得≤m≤.因为m为正整数，所以m＝10.故该同学投篮最有可能命中10次．
12. (1) 记事件A1表示“会员为男会员”，A2表示“会员为女会员”，事件B表示“对服务质量满意”，
则由题意知，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
所以P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝.
(2) 由题意及(1)知，X～B(3，)，
X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝C()0×()3＝，P(X＝1)＝C·()1×()2＝，
P(X＝2)＝C()2×()1＝，P(X＝3)＝C()3×()0＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13. (1) 1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为××＝，根据题意可知X～B(4，)，
X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝C×(1－)4＝，
P(X＝1)＝C××(1－)3＝，
P(X＝2)＝C×()2×(1－)2＝，
P(X＝3)＝C×()3×(1－)＝，
P(X＝4)＝C×()4×(1－)0＝，
故X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)＝4×＝，D(X)＝4××(1－)＝.
(2) 增加k(k∈N*)天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为1－(1－)k×＝1－()k+1，
若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，则[1－()k+1]4>0.99，即1－()k+1>0.997 5，()k+1<0.002 5，所以k>log0.40.002 5－1.
又由log0.40.002 5＝＝＝＝≈≈6.54，
可得k>5.54，
故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证．