8.2.4　超几何分布 同步练习 (含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8．2.4　超几何分布
一、 单项选择题
1 盒子中有10颗螺丝钉，其中有3颗是不合格品，现在在盒子中随机抽取4颗，则恰有2颗是合格品的概率为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2 (2024吉安期末)已知随机变量X～H(4，5，7)，则E(X)的值为(　　)
A. B. C. 2 D.
3 (2024山东月考)某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)＝，则该社团的人数为(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 10
4 (2024临沂开学考试)一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球(n∈N*)，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则E(X)的值为(　　)
A. B. C. 1 D. 2
5 某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有(　　)
A. 1张 B. 2张 C. 3张 D. 4张
6 口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各1个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是(　　)
A. E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＜D(η)
B. E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)
C. E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＞D(η)
D. E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＞D(η)
二、 多项选择题
7 (2024长春月考)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　)
A. 恰有3个白球的概率为
B. 取出的最大号码X服从超几何分布
C. 设取出的黑球个数为Y，当Y＝2时，概率最大
D. 若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
8 (2023长郡梅溪湖中学期中)2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动，为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示，若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校数，则下列说法中正确的是(　　)
A. P(X<2)＝ B. P(X＝0)＝
C. E(X)＝ D. D(X)＝
三、 填空题
9 设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则抽得次品数的数学期望为________．
10 (2024河北月考)为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．
11 一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少摸到1个白球的概率是，则袋中的白球个数为________；若从袋中任意摸出3个球，记摸到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．
四、 解答题
12 (2024长沙期末)某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X.
(1) 写出X的概率分布，并求出E(X)和D(X)的值；
(2) 若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出E(Z)和D(Z)的值．
13 (2024绍兴期末)临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱．现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查．
(1) 应从A，B，C三种水果各抽取多少箱？
(2) 若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测．
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的概率分布和数学期望；
②设事件A为“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率．
8．2.4　超几何分布
1. C　恰有2颗是合格品的概率为＝.
2. A　由X～H(4，5，7)，得E(X)＝＝.
3. C　设该社团共有n人，则P(X＝0)＝＝.因为P(X＝0)＝1－P(X>0)＝，所以＝， 即(11n－18)(n－7)＝0.又n∈N*，所以n＝7.
4. A　由题意可知＝，解得n＝3. X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
5. B　设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则X～B(30，p).若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝6；若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝；若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝16；若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝20.根据题意，得盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天．
6. A　由题意，得当n＝3时，ξ的所有可能取值为1，2，3，则P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，所以E(ξ)＝＋2×＋3×＝2，D(ξ)＝＋＝.当n＝4时，η的所有可能取值为1，2，3，4，则P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝，P(η＝3)＝＝，P(η＝4)＝＝，所以E(η)＝＋2×＋3×＋4×＝，D(η)＝×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＋×(4－)2＝，所以E(ξ)7. ACD　对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为＝，故A正确；对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，故X不服从超几何分布，故B错误；对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，易知P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝，P(Y＝4)＝＝，显然当Y＝2时，概率最大，故C正确；对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的事件为取出4个白球，其概率为＝，故D正确．故选ACD.
8. ABD　根据题意，得X的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.对于A，P(X<2)＝1－P(X＝2)＝，故A正确；对于B，P(X＝0)＝，故B正确；对于C，E(X)＝≠，故C错误；对于D，由以上分析知D正确．故选ABD.
9. 　设抽得次品数为X，则随机变量X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
10. 　设先抽取的2道题中多选题的题数为X，则X的可能取值为0，1，2，得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以最后抽取到的题为多选题的概率为P＝P(X＝0)×＋P(X＝1)×＋P(X＝2)×＝×＋×＋×＝.
11. 5　　设白球个数为x.因为任意摸出2个球，至少摸到1个白球的概率是，所以不含白球的概率为，则＝，即(10－x)(9－x)＝20，解得x＝5或x＝14(舍去)，故白球的个数是5.从袋中任意摸出3个球，得到白球的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
12. (1) 由题意，得X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.
(2) 由题意，得Z＝X＋2(2－X)＝4－X，
则E(Z)＝4－E(X)＝4－＝，
D(Z)＝D(X)＝.
13. (1) 由题意，得A水果需要抽取×9＝4(箱)，B水果需要抽取×9＝3(箱)，C水果需要抽取×9＝2(箱)，
所以应从A，B，C三种水果各抽取4，3，2箱．
(2) ①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
②由题意可知，事件为“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，
所以P(A)＝1－P()＝1－P(X＝0)－P(X＝4)＝1－－＝.