第6章 空间向量与立体几何 练习(含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

第6章　空间向量与立体几何
一、 单项选择题
1 (2023莆田期末)若点P∈平面ABC，且对空间内任意一点O满足＝＋λ＋，则λ的值是(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. － B. － C. D.
2 (2024南通月考)在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，△ABC的重心为G，则点P到直线AG的距离为(　　)
A. B. C. D.
3 (2023苏州期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝2，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 若⊥，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
　　　　
4 (2024石家庄期末)在如图所示的直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB＝2，AA1＝3，M是BC的中点，N是棱CC1上的一个动点，则点A1到平面AMN的距离的最小值为(　　)
A. 1 B. C. D.
5 (2024宝鸡月考)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB⊥AD，AB＝AD＝1，AA1>AB，E，F分别是侧棱BB1，DD1上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为30°，则线段BE的长的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
　　　
6 (2024上海期末)如图，在棱长为10的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到AA1与A1D1的距离均为3，则过点P且与A1M垂直的平面截正方体所得截面的形状是(　　)
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 六边形
二、 多项选择题
7 (2024安徽期末)已知{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是(　　)
A. c，a＋b，c－a－b共面
B. 存在不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0
C. 若d·a＝0，d·b＝0，则d∥c
D. 若(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝0，则|a＋c|＝|b|
8 (2024荆州期末)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，AB＝1，AD＝2，AA1＝4，且AB⊥AD，则下列结论中正确的是(　　)
A. BD1∥平面ACE
B. B1D⊥平面ACE
C. 直线B1D与CE所成的角的余弦值为
D. 点B1到平面ACE的距离为
三、 填空题
9 已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b夹角的余弦值为________．　
10 已知＝(1，1，－2)，＝(1，－1，z)，＝(x－1，y，－1)，若BP⊥平面ABC，则||的最小值为________．
11 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝，则点C到平面PBD的距离为________；PC与平面PBD所成角的余弦值为________．
四、 解答题
12 (2024中山期中)在如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，EF∥DC，平面DCFE⊥平面ABCD，EF＝ED＝FC＝DC＝2.
(1) 求点D到平面ABF的距离；
(2) 求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．
13 (2024连云港月考)在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a(0(1) 求当a为何值时，MN的长最小；
(2) 当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值；
(3) 当MN的长最小时，求直线CE到平面MNB的距离．
本 章 复 习
1. D　因为点P∈平面ABC，所以P，A，B，C四点共面．又＝＋λ＋，所以＋＋λ＝1，解得λ＝.
2. D　如图，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Pxyz，则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则G(，，1)，＝(1，0，0)，＝(－，，1)，所以点P到直线AG的距离为＝＝.
3. A　设CB＝t，t>0，则C(0，0，0)，A1(2，0，2)，B(0，t，0)，B1(0，t，2)，M(1，，2)，C1(0，0，2)，＝(－2，t，－2)，＝(1，，0).由⊥，得·＝－2＋＝0，所以t＝2，所以＝(1，1，2)，＝(－2，2，－2)，所以cos 〈，〉＝＝＝－，故异面直线CM与A1B所成角的余弦值为.
4. D　以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，M(1，2，0)，＝(－1，2，0)，设N(0，2，t)(0≤t≤3)，则＝(－1，0，t).设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则设y＝t，则x＝2t，z＝2，则n＝(2t，t，2)，＝(0，0，3)，所以点A1到平面AMN的距离为＝.又0≤t2≤9，4≤5t2＋4≤49，所以当t＝3，5t2＋4＝49时，点A1到平面AMN的距离取得最小值为＝.
5. B　由题意，得AB，AD，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设BE＝m，DF＝n(m≥0，n≥0，且m，n不同时为0)，则A(0，0，0)，E(1，0，m)，F(0，1，n)，所以＝(1，0，m)，＝(0，1，n).设平面AEF的法向量为u＝(x，y，z)，则令z＝1，得x＝－m，y＝－n，则u＝(－m，－n，1)，显然v＝(0，0，1)为平面ABC的一个法向量．因为平面AEF与平面ABC所成角的大小为30°，所以cos 30°＝|cos 〈u，v〉|＝＝，即＝，得m2＋n2＝，所以m＝，所以当n＝0时，m取得最大值，最大值为.
6. B　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，其中M(0，5，0)，A1(10，0，10)，A(10，0，0)，D1(0，0，10)，P(7，0，7).设平面截A1D1于点H，平面截AA1于点N，＝(－10，5，－10)，设H(t，0，10)，则＝(7－t，0，－3)，且·＝0，即－10(7－t)＋(－3)×(－10)＝0，解得t＝4，即H(4，0，10)，＝λ，＝λ(3，0，－3)，则N(3λ＋4，0，10－3λ)，其中3λ＋4＝10，得λ＝2，则N(10，0，4).设平面截C1B1于点R，平面截BB1于点Q，设R(s，10，10)，＝(s－4，10，0)，同理·＝－10(s－4)＋50＝0，解得s＝9，设Q(10，10，l)，＝(0，10，l－4)，同理·＝50－10(l－4)＝0，解得l＝9，则R(9，10，10)，Q(10，10，9)，所以＝(6，0，－6)，＝(1，0，－1)，所以＝6，即HN∥RQ，所以平面截正方体所得截面的形状是四边形HNQR.
7. AD　由c＝(a＋b)＋(c－a－b)，得c，a＋b，c－a－b共面，故A正确；若存在不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则a，b，c共面，不能构成基底，故B错误；当d≠0时，有d⊥a，d⊥b，由题意，得a，b，c不共面，不一定有c⊥a且c⊥b，即不一定有d∥c，故C错误；由(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝0，得(a＋c)2－b2＝0，即(a＋c)2＝b2，则|a＋c|＝|b|，故D正确．故选AD.
8. ACD　在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，E(0，2，2)，B1(1，0，4)，D1(0，2，4)，故＝(0，2，2)，＝(－1，0，2).对于A，设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，得n＝(2，－1，1).又＝(－1，2，4)，所以n·＝－2－2＋4＝0.因为BD1 平面ACE，所以BD1∥平面ACE，故A正确；对于B，因为＝(－1，2，－4)，·＝4－8＝－4≠0，则B1D不垂直于AE，又AE 平面ACE，故B1D与平面ACE不垂直，故B错误；对于C，|cos 〈，〉|＝＝＝，即直线B1D与CE所成的角的余弦值为，故C正确；对于D，因为＝(－1，0，－4)，所以点B1到平面ACE的距离d＝＝＝，故D正确．故选ACD.
9. 　由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，两边平方，得4＋9＋2a·b＝16，所以a·b＝，所以cos 〈a，b〉＝＝＝.
10. 　因为BP⊥平面ABC，所以BP⊥AB，BP⊥BC，则则y＝－x－1，z＝2x，＝－＝(x－2，y＋1，－1－z)，则||＝＝≥，所以||的最小值为.
11. 　　连接EC.在△PEC中，PE＝1，EC＝，PC＝，所以PE2＋EC2＝PC2，所以PE⊥EC.因为PE⊥DE，DE∩EC＝E，DE 平面BCDE，EC 平面BCDE，所以PE⊥平面BCDE.以E为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Exyz，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，＝(1，－1，0)，＝(0，－1，1)，＝(1，1，－1)，＝(－1，0，0).设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1，1，1)，所以点C到平面PBD的距离d＝＝＝.因为cos 〈，n〉＝＝，所以PC与平面PBD所成角的余弦值为＝.
12. (1) 取DC的中点为O，EF的中点为N，连接ON.
因为四边形DCFE为等腰梯形，所以ON⊥DC.
又平面DCFE⊥平面ABCD，且平面DCFE∩平面ABCD＝DC，ON 平面DCFE，则ON⊥平面ABCD.
如图，连接点O与AB的中点M，则OM⊥OC.
以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4，－2，0)，B(4，2，0)，C(0，2，0)，D(0，－2，0)，E(0，－1，)，F(0，1，)，
所以＝(0，4，0)，＝(－4，－1，)，＝(－4，0，0).
设平面ABF的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
令a＝，则c＝4，b＝0，
即平面ABF的一个法向量为n＝(，0，4)，
所以点D到平面ABF的距离d＝＝＝.
(2) 由(1)，得＝(0，－1，)，＝＝(－4，0，0)，＝(－4，1，).
设平面BCF的法向量为n2＝(x′，y′，z′)，
则即
令y′＝，则z′＝1，x′＝0，
所以平面BCF的一个法向量为n2＝(0，，1)，
所以AE与平面BCF所成的角θ的正弦值为sin θ＝|cos 〈，n2〉|＝＝＝，
所以AE与平面BCF夹角的正弦值为.
13. (1) 因为平面ABCD⊥平面ABEF，BC⊥AB，BE⊥AB，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BC 平面ABCD，
所以CB⊥平面ABEF，又BE 平面ABEF，
所以BC⊥BE，所以BC，AB，BE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，0，1)，F(1，1，0)，E(0，1，0).
因为CM＝BN＝a，所以M(，0，1－)，N(，，0)，
则MN＝＝＝，
当a＝时，MN最小，最小值为.
(2) 由(1)知，当M，N分别为AC，BF的中点时，MN最短，则M(，0，)，N(，，0)，
所以＝(，0，－)，＝(0，，－)，＝(，0，).
设平面MNA与平面MNB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，
则
取x1＝x2＝1，则m＝(1，1，1)，n＝(1，－1，－1)，
所以cos 〈m，n〉＝＝＝－，
所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是.
(3) ＝(0，1，－1)，当MN的长最小时，平面MNB的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，
则·n＝－1＋1＝0，故CE∥平面MNB，
故直线CE到平面MNB的距离等于点C到平面MNB的距离，
又＝(0，0，1)，故d＝＝＝，
即当MN的长最小时直线CE到平面MNB的距离为.