第7章 计数原理 练习(含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第7章 计数原理 练习(含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 35.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-20 08:11:43 | ||
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文档简介
第7章 计 数 原 理
一、 单项选择题
1 (2023肇庆期末)A＋C的值为( )
A. 13 B. 16
C. 23 D. 26
2 (2－)6展开式中的常数项为( )
A. 120 B. －120
C. 240 D. －240
3 (2024福建期中)现有4支救援队前往A，B，C，3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的1个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，且甲救援队只能去B受灾点，则不同的安排方法数为( )
A. 10 B. 12
C. 8 D. 6
4 (2024东莞月考)若(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则＋＋…＋的值为( )
A. 2 B. 0 C. －1 D. －2
5 (2024青岛期末)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都没有得到冠军．”对丁说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有( )
A. 24种 B. 54种
C. 96种 D. 120种
6 (2024福州月考)如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为( )
A. 24 B. 96 C. 48 D. 108
二、 多项选择题
7 (2024重庆月考)已知f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则下列说法中不正确的是( )
A. a1＋a2＋…＋a8＝1
B. f(－1)除以5所得的余数是1
C. |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38
D. 2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8
8 (2023淮安期末)有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法中正确的有( )
A. 5名同学每两人握手1次，共握手20次
B. 5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张
C. 5名同学围成一圈做游戏，有120种排法
D. 5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法
三、 填空题
9 化简：C·32n＋C·32n-2＋C·32n-4＋…＋C·32＝________．
10 (2024朝阳期中)某中学食堂共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有________种不同的分配方式．
11 (2024上海月考)若(1＋2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，n＝2(a0＋a2＋…＋a2 024)，则正整数n的个位数为________．
四、 解答题
12 (2024山东月考)已知函数f(n，x)＝(＋mx)n(m>0，x>0).
(1) 当m＝2时，求f(7，x)的展开式中二项式系数最大的项；
(2) 若f(10，x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，且a2＝180.
①求a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10的值；
②求ai(0≤i≤10，i∈N)的最大值．
13 某中学将举行教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出10名成员分为两支队伍，每支队伍5人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
(1) 一共有多少种不同的分组方案？
(2) 在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1，2，3，4，5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A，B，C，D，E，F 6名女老师进行训练，经训练发现E不能站在5号位，若A，B同时上场时，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
第7章 计 数 原 理
本 章 复 习
1. C A＋C＝5×4＋＝23.
2. C (2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6-r(－x-1)r＝C(－1)r26-rx，令＝0，得r＝2，故常数项为T3＝C(－1)2×24＝240.
3. B 第一种情况：B受灾点只有甲1支救援队，则其余3支救援队前往A，C，2个受灾点，有CA＝6(种)安排方法；第二种情况：从余下的3支救援队中选1支救援队与甲救援队一起前往B受灾点，其余2支救援队分别前往A，C，2个受灾点，有CA＝6(种)安排方法．利用分类计数原理，共有6＋6＝12(种)安排方法．
4. C 由(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024.令x＝0，有1＝a0；令x＝，有0＝a0＋＋＋…＋，所以＋＋…＋＝－a0＝－1.
5. B 由题意知，丙和丁都没有得到冠军，且丁不是最后一名，分两种情况讨论：第一种，丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的3人安排在其他三个名次，有A＝6(种)情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；第二种，丙不是最后一名，则丙、丁需要排在第二、三、四名，有A＝6(种)情况，剩下的3人安排在其他三个名次，有A＝6(种)情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况，则一共有36＋18＝54(种)不同的名次情况．
6. B 第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法；第四步(此前三步已经用去三种颜色)：涂区域3，分两类：第一类，区域3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则区域3涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．故不同的涂色种数为4×3×2×(1×1＋1×3)＝96.
7. ACD 因为f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，所以令x＝1，得f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1，再令x＝0，得a0＝28，所以a1＋a2＋…＋a8＝1－a0＝1－28＝－255，故A错误；由于|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|为(2＋x)8展开式的各项系数和，故令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝38，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝38－28，故C错误；由题意，得f(－1)＝38＝94＝(10－1)4＝C·104－C·103＋C·102－C·10＋1，显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，故f(－1)除以5所得的余数是1，故B正确；(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8两边同时对x求导，得－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7.再令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8；令x＝0，得a1＝－8×27，故2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8－a1＝－8＋8×27，故D错误．故选ACD.
8. BD 5名同学每两人握手1次，共握手C＝10(次)，故A错误；5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片A＝20(张)，故B正确；5名同学围成一圈做游戏，确定4个人之后，最后一个人的位置也就确定了，所以有A＝24(种)排法，故C错误；5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，共有AA＝48(种)排法，其中丙站中间的排法有AAA＝8(种)，所以甲、乙相邻，且丙不站正中间的排法有48－8＝40(种)，故D正确．故选BD.
9. 10n－1 逆用二项式定理，得C·32n＋C·32n-2＋C·32n-4＋…＋C·32＝C·(32)n＋C·(32)n-1＋C·(32)n-2＋…＋C·32＝(32＋1)n－C·1n＝10n－1.
10. 100 分两种情况，若甲1个人一组，则其他两组的人数为1，3或2，2.因为甲同学不去二楼，所以不同的分配方式有C(CA＋C)＝28(种)；若甲和另外1个人两人一组，则其他两组的人数为1，2.因为甲同学不去二楼，所以不同的分配方式有CCCA＝48(种)；若甲和另外2个人三人一组，则其他两组的人数为1，1.因为甲同学不去二楼，所以不同的分配方式有CCA＝24(种).综上，共有28＋48＋24＝100(种)不同的分配方式．
11. 2 当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝32 024；当x＝－1时，a0－a1＋a2－…＋a2 024＝1，两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a2 024)＝32 024＋1，即n＝32 024＋1＝91 012＋1＝(10－1)1 012＋1＝101 012－C·101 011＋C·101 010－…－C·10＋C＋1，所以正整数n的个位数为2.
12. (1) 当m＝2时，f(7，x)＝(1＋2x)7的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项和第五项，且T4＝C(2x)3＝280x3，T5＝C(2x)4＝560x4.
(2) ①因为f(10，x)＝(＋mx)10展开式的通项为Tr＋1＝C()10-r(mx)r＝210-r·m2r-10·Cxr，
且f(10，x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
所以a2＝28Cm-6＝180，解得m＝2，
所以f(10，x)＝(1＋2x)10,
f′(10，x)＝a1＋2a2x＋…＋10a10x9＝20(1＋2x)9，
令x＝1，得a1＋2a2＋…＋10a10＝20(1＋2)9＝393 660.
②由①知，f(10，x)展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，
所以ar＝2rC，当r＝0时，a0＝1，
设ak＝2kC为ai(0≤i≤10，i∈N)中的最大值，则即即≤k≤，k∈N，所以k＝7，
所以(ai)max＝a7＝27C＝15 360.
13. (1) 分两种情况：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女．
①若两组都是3女2男，则先将6名女老师平均分成两组共种方式，再将4名男老师平均分成两组共种方式，所以两组都是3女2男的情况有××2＝60(种)；
②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有CCCC＝60(种)，
所以总情况数为60＋60＝120(种).
故一共有120种不同的分组方案．
(2) 分为三种情况，如下：
①若A，B上场且E不上场：
先将A，B全排列，共有A种方式，再把A，B捆绑后和C，D，F全排列共有A种方式，所以A，B上场且E不上场共有A×A＝48(种)不同的排列方式；
②若A，B上场且E也上场：
先将A，B全排列，共有A种方式，再从C，D，F中选两人，有C种选择方式，
将A，B捆绑后和C，D，F中的两人和E全排列，有A种方式，所以一共有A×C×A＝144(种)不同的方式．
若E排在5号位，则有A×C×A＝36(种)不同的方式，
故A，B，E均上场且E不在5号位共有144－36＝108(种)不同的排列方式．
③若A，B中有一人上场且E上场：
E上场且不在5号位，则E可位于1，2，3，4号位，有C种方式，再从A，B中选一人，有C种方式，A，B中的一人和C，D，F 4人全排列，共A种方式，所以A，B中有一人上场且E上场共有C×C×A＝192(种)不同的排列方式．
综上，一共有48＋108＋192＝348(种)不同的排列方式．
一、 单项选择题
1 (2023肇庆期末)A＋C的值为( )
A. 13 B. 16
C. 23 D. 26
2 (2－)6展开式中的常数项为( )
A. 120 B. －120
C. 240 D. －240
3 (2024福建期中)现有4支救援队前往A，B，C，3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的1个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，且甲救援队只能去B受灾点，则不同的安排方法数为( )
A. 10 B. 12
C. 8 D. 6
4 (2024东莞月考)若(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则＋＋…＋的值为( )
A. 2 B. 0 C. －1 D. －2
5 (2024青岛期末)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都没有得到冠军．”对丁说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有( )
A. 24种 B. 54种
C. 96种 D. 120种
6 (2024福州月考)如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为( )
A. 24 B. 96 C. 48 D. 108
二、 多项选择题
7 (2024重庆月考)已知f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则下列说法中不正确的是( )
A. a1＋a2＋…＋a8＝1
B. f(－1)除以5所得的余数是1
C. |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38
D. 2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8
8 (2023淮安期末)有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法中正确的有( )
A. 5名同学每两人握手1次，共握手20次
B. 5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张
C. 5名同学围成一圈做游戏，有120种排法
D. 5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法
三、 填空题
9 化简：C·32n＋C·32n-2＋C·32n-4＋…＋C·32＝________．
10 (2024朝阳期中)某中学食堂共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有________种不同的分配方式．
11 (2024上海月考)若(1＋2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，n＝2(a0＋a2＋…＋a2 024)，则正整数n的个位数为________．
四、 解答题
12 (2024山东月考)已知函数f(n，x)＝(＋mx)n(m>0，x>0).
(1) 当m＝2时，求f(7，x)的展开式中二项式系数最大的项；
(2) 若f(10，x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，且a2＝180.
①求a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10的值；
②求ai(0≤i≤10，i∈N)的最大值．
13 某中学将举行教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出10名成员分为两支队伍，每支队伍5人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
(1) 一共有多少种不同的分组方案？
(2) 在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1，2，3，4，5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A，B，C，D，E，F 6名女老师进行训练，经训练发现E不能站在5号位，若A，B同时上场时，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
第7章 计 数 原 理
本 章 复 习
1. C A＋C＝5×4＋＝23.
2. C (2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6-r(－x-1)r＝C(－1)r26-rx，令＝0，得r＝2，故常数项为T3＝C(－1)2×24＝240.
3. B 第一种情况：B受灾点只有甲1支救援队，则其余3支救援队前往A，C，2个受灾点，有CA＝6(种)安排方法；第二种情况：从余下的3支救援队中选1支救援队与甲救援队一起前往B受灾点，其余2支救援队分别前往A，C，2个受灾点，有CA＝6(种)安排方法．利用分类计数原理，共有6＋6＝12(种)安排方法．
4. C 由(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024.令x＝0，有1＝a0；令x＝，有0＝a0＋＋＋…＋，所以＋＋…＋＝－a0＝－1.
5. B 由题意知，丙和丁都没有得到冠军，且丁不是最后一名，分两种情况讨论：第一种，丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的3人安排在其他三个名次，有A＝6(种)情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；第二种，丙不是最后一名，则丙、丁需要排在第二、三、四名，有A＝6(种)情况，剩下的3人安排在其他三个名次，有A＝6(种)情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况，则一共有36＋18＝54(种)不同的名次情况．
6. B 第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法；第四步(此前三步已经用去三种颜色)：涂区域3，分两类：第一类，区域3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则区域3涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．故不同的涂色种数为4×3×2×(1×1＋1×3)＝96.
7. ACD 因为f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，所以令x＝1，得f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1，再令x＝0，得a0＝28，所以a1＋a2＋…＋a8＝1－a0＝1－28＝－255，故A错误；由于|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|为(2＋x)8展开式的各项系数和，故令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝38，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝38－28，故C错误；由题意，得f(－1)＝38＝94＝(10－1)4＝C·104－C·103＋C·102－C·10＋1，显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，故f(－1)除以5所得的余数是1，故B正确；(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8两边同时对x求导，得－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7.再令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8；令x＝0，得a1＝－8×27，故2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8－a1＝－8＋8×27，故D错误．故选ACD.
8. BD 5名同学每两人握手1次，共握手C＝10(次)，故A错误；5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片A＝20(张)，故B正确；5名同学围成一圈做游戏，确定4个人之后，最后一个人的位置也就确定了，所以有A＝24(种)排法，故C错误；5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，共有AA＝48(种)排法，其中丙站中间的排法有AAA＝8(种)，所以甲、乙相邻，且丙不站正中间的排法有48－8＝40(种)，故D正确．故选BD.
9. 10n－1 逆用二项式定理，得C·32n＋C·32n-2＋C·32n-4＋…＋C·32＝C·(32)n＋C·(32)n-1＋C·(32)n-2＋…＋C·32＝(32＋1)n－C·1n＝10n－1.
10. 100 分两种情况，若甲1个人一组，则其他两组的人数为1，3或2，2.因为甲同学不去二楼，所以不同的分配方式有C(CA＋C)＝28(种)；若甲和另外1个人两人一组，则其他两组的人数为1，2.因为甲同学不去二楼，所以不同的分配方式有CCCA＝48(种)；若甲和另外2个人三人一组，则其他两组的人数为1，1.因为甲同学不去二楼，所以不同的分配方式有CCA＝24(种).综上，共有28＋48＋24＝100(种)不同的分配方式．
11. 2 当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝32 024；当x＝－1时，a0－a1＋a2－…＋a2 024＝1，两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a2 024)＝32 024＋1，即n＝32 024＋1＝91 012＋1＝(10－1)1 012＋1＝101 012－C·101 011＋C·101 010－…－C·10＋C＋1，所以正整数n的个位数为2.
12. (1) 当m＝2时，f(7，x)＝(1＋2x)7的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项和第五项，且T4＝C(2x)3＝280x3，T5＝C(2x)4＝560x4.
(2) ①因为f(10，x)＝(＋mx)10展开式的通项为Tr＋1＝C()10-r(mx)r＝210-r·m2r-10·Cxr，
且f(10，x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
所以a2＝28Cm-6＝180，解得m＝2，
所以f(10，x)＝(1＋2x)10,
f′(10，x)＝a1＋2a2x＋…＋10a10x9＝20(1＋2x)9，
令x＝1，得a1＋2a2＋…＋10a10＝20(1＋2)9＝393 660.
②由①知，f(10，x)展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，
所以ar＝2rC，当r＝0时，a0＝1，
设ak＝2kC为ai(0≤i≤10，i∈N)中的最大值，则即即≤k≤，k∈N，所以k＝7，
所以(ai)max＝a7＝27C＝15 360.
13. (1) 分两种情况：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女．
①若两组都是3女2男，则先将6名女老师平均分成两组共种方式，再将4名男老师平均分成两组共种方式，所以两组都是3女2男的情况有××2＝60(种)；
②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有CCCC＝60(种)，
所以总情况数为60＋60＝120(种).
故一共有120种不同的分组方案．
(2) 分为三种情况，如下：
①若A，B上场且E不上场：
先将A，B全排列，共有A种方式，再把A，B捆绑后和C，D，F全排列共有A种方式，所以A，B上场且E不上场共有A×A＝48(种)不同的排列方式；
②若A，B上场且E也上场：
先将A，B全排列，共有A种方式，再从C，D，F中选两人，有C种选择方式，
将A，B捆绑后和C，D，F中的两人和E全排列，有A种方式，所以一共有A×C×A＝144(种)不同的方式．
若E排在5号位，则有A×C×A＝36(种)不同的方式，
故A，B，E均上场且E不在5号位共有144－36＝108(种)不同的排列方式．
③若A，B中有一人上场且E上场：
E上场且不在5号位，则E可位于1，2，3，4号位，有C种方式，再从A，B中选一人，有C种方式，A，B中的一人和C，D，F 4人全排列，共A种方式，所以A，B中有一人上场且E上场共有C×C×A＝192(种)不同的排列方式．
综上，一共有48＋108＋192＝348(种)不同的排列方式．