(共27张PPT)
8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
明确目标 发展素养
借助长方体认识空间点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 在学习直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系的过程中，培养直观想象、逻辑推理素养.
不同在任何一个平面内
[微思考] 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．可能平行、相交或异面．
×
×
√
位置关系 直线a在
平面α内 直线a在平面α外
直线a与
平面α相交 直线a与
平面α平行
公共点 _______公共点 有且只有______公共点 ______公共点
符号表示 a α ____________ _______
图形表示
无数个
一个
a∩α＝A
没有
a∥α
[微思考] “直线与平面不相交”就是指“直线与平面没有公共点”吗？
提示：不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
√
×
知识点三 空间中平面与平面的位置关系
(一)教材梳理填空
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 ___________ 有_____个公共点
(在一条直线上)
符号表示 _____ α∩β＝l
图形表示
没有公共点
无数
α∥β
×
×
[答案] (1)A (2)①平行 ②相交 ③异面
答案：平行、异面或相交
题型二 空间中直线与平面的位置关系的判定
【学透用活】
解决直线与平面位置关系的策略
位置关系 策略
直线
在平面内 需要找到直线上两点在平面内，从而根据基本事实2可知直线在平面内
直线与
平面相交 根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点
直线与
平面平行 根据定义判定直线与平面没有公共点，也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况，从而判定直线与平面平行
[方法技巧]
判断直线与平面的位置关系应注意的事项
(1)在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．
(2)解决这类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
答案:AB
题型三 空间中平面与平面的位置关系的判定
【学透用活】
[典例3] 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 ( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．垂直
[答案] C
[方法技巧]
判定平面与平面的位置关系的方法
判定两个平面相交，只需找到两个平面的一个公共点，就可根据基本事实3知，两个不重合的平面是相交的．
判定两个平面平行，可根据定义判定两个平面没有公共点，也可以排除两个平面相交，从而判定两平面平行．
[答案] C
答案:选ABD 课时跟踪检测 （二十四） 平面
层级(一) “四基”落实练
1．下列空间图形画法错误的是 ( )
解析：选D 遮挡部分应画成虚线，D错．故选D.
2．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是 ( )
①A∈a，a α A α； ②A∈a，a∈α A∈α；
③A a，a α A α； ④A∈a，a α A α.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
选A ①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③
不正确，如图所示，A a，a α，但A∈α；④不正确，“A α”表述错误．故选A.
3．下列有关平面的说法正确的是 ( )
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面
解析：选D 我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，D项正确．故选D.
4．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中 ( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
解析：选B 如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确．故选B.
5．(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是 ( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
解析：选ABD 对于A，由基本事实2可知，a β，A正确；对于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事实2可知，直线MN α.同理MN β，∴α∩β＝MN，B正确；对于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.故α∩β＝A的写法错误；对于D，∵A，B，M不共线，由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合．故选A、B、D.
6．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
7．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是_______．
解析：在①②③中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故④不正确．
答案：④
8．看图填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.
答案：(1)A1B1 (2)AC
9.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P.
求证：点P在直线DE上．
证明：因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
层级(二) 能力提升练
1.如图，平面α∩平面β＝l，P∈β且P l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M， N，P三点确定的平面记为γ，则β∩γ是 ( )
A．直线MP B．直线NP
C．直线PR D．直线MR
解析：选C 因为MN γ，R∈MN，所以R∈γ.又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β.又P∈β，P∈γ，所以P，R均为平面γ与β的公共点，所以β∩γ＝PR.故选C.
2．平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面．
解析：①当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；②当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点．
答案：1或4
3．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
解析：
如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，
则α∩β＝CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB β，∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．
答案：O，C，D三点共线
4.已知，A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示．求证：直线AD，BD，CD共 面．
证明：因为D l，所以l与D可以确定平面α.
因为A∈l，所以A∈α.
又D∈α，所以AD α.同理BD α，CD α.
所以AD，BD，CD在同一平面α内，
即直线AD，BD，CD共面．
5.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧， AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
证明：因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，所以AB∩CD＝P.
所以AB，CD可确定一个平面，设为β.
因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
所以AC β，BD β，平面α，β相交．
因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
所以P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
层级(三) 素养培优练
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点．
(1)画出平面PAC与平面ABCD的交线；
(2)画出平面PA1C与平面ABCD的交线．
解：(1)平面PAC与平面ABCD的交线为直线AC，如图①.
(2)延长A1P，AB交于点E，连接CE，则直线CE为平面PA1C与平面 ABCD的交线，如图②.
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