(共27张PPT)
8．5.2 直线与平面平行
明确目标 发展素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的位置关系．
2.归纳出直线与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．
3.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 在发现、推导和应用直线与平面平行的判定定理、性质定理的过程中，培养数学抽象、直观想象和逻辑推理素养.
此平面内的一条直线平行
[微思考] 如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线与平面平行吗？
提示：不一定，平行或直线在平面内．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面
平行． ( )
(2)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平 面平行． ( )
2．(多选)若确定直线a与平面α平行，则必须同时具备的条件是 ( )
A．a α B．b∥α
C．a∥b D．b α
答案：ACD
×
×
答案：D
知识点二 直线与平面平行的性质定理
(一)教材梳理填空
交线
a∥α，a β，α∩β＝b
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b. ( )
(2)若直线l∥平面α，且b α，则l∥b. ( )
(3)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．( )
×
×
√
3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．
答案：1
[方法技巧]
应用判定定理证明线面平行的步骤
答案:B
题型二 直线与平面平行的性质定理
【学透用活】
(1)应用直线与平面平行的性质定理，必须具备三个条件：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a β.
这三个条件缺一不可．
答案：5
题型三 直线与平面平行的判定、性质定理的综合应用
[探究发现]
(1)由两直线平行怎样转化为直线与平面平行？若直线l∥平面α，则l平行 于平面α内的所有直线吗？
提示：使用直线与平面平行的判定定理把两直线平行转化为直线与平面平行．若直线l∥平面α，l不平行于平面α内的所有直线．
(2)若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
提示：若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a相互平行．
[方法技巧]
直线与平面平行的判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，相互转化如下：
【对点练清】
已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.课时跟踪检测 （二十七） 直线与平面平行
层级(一) “四基”落实练
1．已知直线a∥平面α，直线b 平面α，则 ( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
解析：选D 由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．故选D.
2．若直线l不平行于平面α，且l α，则 ( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：选B 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l α，故l∥α，这与题意矛盾．故选B.
3.如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
解析：选D 在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.故选D.
4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是 ( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D 由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.故选D.
5.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列四个结论正确的是 ( )
A．OM∥PD B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
解析：选ABC 由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理可得：OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故D不正确．故选A，B，C.
6．在三棱锥S ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的位置关系为________．
解析：如图，延长AG交BC于点F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2.又AE∶ES＝2，
∴EG∥SF.
又SF 平面SBC，EG 平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案：平行
7.如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF， BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE.∴MN∥DE.又MN 平面ADE，DE 平面ADE，∴MN∥平面ADE.
答案：平行
8. 如图，O是长方体ABCD A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点．
求证：B1O∥平面A1C1D.
证明：如图，连接B1D1交A1C1于点O1，连接DO1.
∵B1B∥D1D，B1B＝D1D，
∴四边形B1BDD1为平行四边形．
∴O1B1∥DO，O1B1＝DO.
∴四边形O1B1OD为平行四边形．
∴B1O∥O1D.
∵B1O 平面A1C1D，O1D 平面A1C1D，
∴B1O∥平面A1C1D.
层级(二) 能力提升练
1.如图，棱长均为1的正三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
解析：选D
如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条．
2．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q 是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A
如图，连接AD1，AB1.
∵PQ∥平面AA1B1B，
平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ 平面AB1D1，∴PQ∥AB1.
∴PQ＝AB1＝＝.
故选A.
3. 如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过 C1，E，F的截面的周长为________．
解析：由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.
答案：4＋6
4.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF ∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点．
求证：GM∥平面ABFE.
证明：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，
所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°.
因为AB＝2EF，所以BC＝2FG.
如图，连接AF.
由于FG∥BC，FG＝BC，在 ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，
因此FG∥AM且FG＝AM.
所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.
又FA 平面ABFE，GM 平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
5.如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，点D1为A1C1上的点．当等于何值时，BC1∥平面AB1D1
解：如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.
连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的
中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
层级(三) 素养培优练
如图，四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD.
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB，
又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH，
又DH 平面PAD，CE 平面PAD，
因此CE∥平面PAD.
(2)如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，
所以AF＝AB，又CD＝AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
因此CF∥AD，
又CF 平面PAD，所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．
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