课时跟踪检测 （三十三） 平面与平面垂直的性质
层级(一) “四基”落实练
1．下列命题中错误的是 ( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：选D 由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．故选D.
2．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是 ( )
A．垂直 B．平行
C．l β D．平行或l β
解析：选D 如图l∥β或l β.故选D.
3．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是 ( )
A．异面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
解析：选C ∵α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.故选C.
4.如图所示，在三棱锥P ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则 ( )
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
解析：选B ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，PD 平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
5．(多选)给出以下四个命题，其中真命题是 ( )
A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行
D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直
解析：选ABD A.线面平行的性质定理知A正确；B.由线面垂直的判定定理知B正确；C.由这两条直线可能相交或平行或异面知C错误；D.由面面垂直的判定定理知D正确.故选A，B，D.
6．如图，在三棱锥P ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则
PB＝________.
解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∴PB＝＝＝.
答案：
7．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．
解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．
答案：3
8.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.
证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD.
因为平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD 平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD.
层级(二) 能力提升练
1.如图所示，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在 ( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
解析：选A 连接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB.又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.
2.如图所示，两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．
解析：如图，取CD的中点G，连接MG，NG.
因为四边形ABCD，四边形DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG
平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF.
又NG 平面DCEF，所以MG⊥NG.
所以MN＝＝.
答案：
3．如图所示，在三棱锥P ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．
解析：设P在平面ABC上的射影为O.
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点．
∴△ABC是直角三角形．
答案：直角
4.如图，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E.
(1)判断DC与BE的关系；
(2)求证：DC⊥BC.
解：(1)DC⊥BE.理由如下：
∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于点E，平面ABC∩平面ACD＝AC， BE 平面ABC，∴BE⊥平面ACD.
又DC 平面ACD，∴BE⊥DC.
(2)证明：∵AB⊥平面BCD，DC 平面BCD，∴AB⊥DC.
∵BE⊥DC，AB∩BE＝B，∴DC⊥平面ABC，
又BC 平面ABC，∴DC⊥BC.
5.如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2.
(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P ABCD的体积．
解：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝2，BD＝4，AB＝2，
∴AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD 平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.
∵BD 平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)过P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD.
∴PO为四棱锥P ABCD的高．
又△PAD是边长为2的等边三角形，
∴PO＝×2＝.
∵在底面四边形ABCD中，AB∥DC，
AB＝2DC，
∴四边形ABCD是梯形．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
∴四边形ABCD的面积为S＝×＝6.
故VP ABCD＝×6×＝2.
层级(三) 素养培优练
如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD
解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又＝＝λ(0<λ<1)，
∴不论λ为何值，总有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又EF 平面BEF，∴不论λ为何值，
总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知，EF⊥BE.
又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
AB⊥平面BCD，∴BD＝，AB＝tan 60°＝.
∴AC＝ ＝.
由AB2＝AE·AC得AE＝，∴λ＝＝，
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共17张PPT)
8.6.3 第二课时 平面与平面垂直的性质
交线
垂直
a α，a⊥l
线面
知识点 平面与平面垂直的性质
(一)教材梳理填空
√
×
答案：D
题型二 垂直关系的综合应用
[探究发现]
试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
提示：在线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化中．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
面面垂直的定义
判定定理
判定定理
线线垂直
线面垂直
面面垂直
性质定理
性质定理
P
H
C
B
