课时跟踪检测 （三十） 直线与平面垂直的判定
层级(一) “四基”落实练
1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直 B．相交但不垂直
C．平行 D．不确定
解析：选A 因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．故选A.
2．正方体ABCD A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1
解析：选D ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.
3.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：选A ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A.
4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：选C ∵BA⊥α，α∩β＝l，l α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又∵BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC 平面ABC，∴l⊥AC.故选C.
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析：选B 易证AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，所以AC⊥BC.故选B.
6.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________．
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形．
答案：4
7．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
解析：如图所示，连接B1D1.
则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝＝＝，则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
8.如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．
求证：(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
证明：(1)由题意知AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以CD⊥AA1.
(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.
又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB 平面A1B1BA，A1A 平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.
因为AB1 平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.
又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD 平面CED，CE 平面CED，所以AB1⊥平面CED.
层级(二) 能力提升练
1．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能存在，也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
解析：选B 当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个；当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．
2．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
解析：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD.
所以AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，
所以PD＝＝4.
答案：4
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．
解析：BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
答案：线段B1C
4.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．
求证：PC⊥平面BEF.
证明：如图，连接PE，EC.
在Rt△PAE和Rt△CDE中，
PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
因为F是PC的中点，所以EF⊥PC.
因为BP＝ ＝2＝BC，
F是PC的中点，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF 平面BEF，EF 平面BEF，
所以PC⊥平面BEF.
5.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
解：如图，连接A1B，CD1，
则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1.
又A1D1∩A1B＝A1，
∴AB1⊥平面A1BCD1.
又D1E 平面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.
要使D1E⊥平面AB1F D1E⊥AF.
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF DE⊥AF.
∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
层级(三) 素养培优练
1.(多选)如图，四棱锥S ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
解析：选ABD
A项，∵SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又∵SD∩DB＝D，
∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥SB；
B项，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，
又AB 平面SCD，CD 平面SCD，
∴AB∥平面SCD；
C项，∵AB∥DC，∴∠SCD(为锐角)是AB与SC所成的角，∠SAB(为直角)是DC与SA所成的角，而∠SCD≠∠SAB，
∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确；
D项，由A可知：AC⊥平面SDB，∴∠ASO、∠CSO分别是SA与平面SBD所成的角、SC与平面SBD所成的角，
由SA＝SC，OA＝OC，可得∠ASO＝∠CSO，因此正确．
综上可知，只有C不正确，故选A，B，D.
2.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.
求证：(1)GH∥平面EAD；
(2)FG⊥平面ABCD.
证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.
因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.
因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，
所以EH＝AB＝MG.
所以四边形EMGH为平行四边形．所以GH∥EM.
又因为GH 平面EAD，EM 平面EAD，
所以GH∥平面EAD.
(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.
在正方形ABCD中，AB⊥BC，
又FB∩BC＝B，所以AB⊥平面FBC.
又FG 平面FBC，所以AB⊥FG.
在正三角形FBC中，FG⊥BC，
又AB∩BC＝B，所以FG⊥平面ABCD.
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8．6.2 直线与平面垂直
明确目标 发展素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解直线与平面垂直的关系．
2.归纳出直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并加以证明．
3.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程中，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
图示
性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段
与点
面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与_____间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的_____叫做这个点到该平面的距离
垂足
长度
续表
[微思考] 直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”？
提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
×
√
知识点二 直线与平面垂直的判定定理
(一)教材梳理填空
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面_____
图形语言
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，__________ l⊥α
两条相交
垂直
a∩b＝P
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个 平面垂直． ( )
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面． ( )
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置 关系是 ( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
答案：B
√
√
知识点三 直线和平面所成的角
(一)教材梳理填空
直线和平面所成角的定义及有关概念：
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与平面α_____，但不与这个平面_____，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的_______叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引______PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
相交
垂直
交点A
垂线
续表
射影
90°
答案：B
答案：45°
×
×
×
[典例1] (多选)下列四个命题中，其中正确的是 ( )
A．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可 能平行
B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
[解析] l与平面α内的所有直线都垂直，所以A不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以B不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确．故选C、D.
[答案] CD
[方法技巧]
直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直，即线线垂直 线面垂直．
(2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直，即线面垂直 线线垂直．
【对点练清】
设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．故选B.
答案:B
[方法技巧]
证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[提醒] 要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．
(2)空间几何体中，确定线面角的关键是什么？
提示：确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足与斜足所在的直线为射影，则线面角确定．
[方法技巧]
求斜线与平面所成的角的步骤
(1)作图．作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)．
(2)证明．证明找出的平面角是斜线与平面所成的角．
(3)计算．通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
[提醒] 在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．
答案：B
(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
∴A1B⊥平面AB1C1D，
即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.
答案：(1)45° (2)30° (3)90°
