(共28张PPT)
8．5.3 平面与平面平行
明确目标 发展素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的位置关系．
2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．
3.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 在发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理、性质定理的过程中，培养数学抽象、直观想象和逻辑推理素养.
两条相交直线
a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α
平行
[微思考] 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示：平行．
×
√
√
√
2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 ( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
答案：C
3．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为__________．
答案：a β或a∥β
知识点二 平面与平面平行的性质定理
(一)教材梳理填空
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ______
图形语言
作用 证明两条直线______
平行
a∥b
平行
[微思考] 两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
提示：不一定．因为两个平面平行，所以分别在这两个平面内的任两条直线无公共点，它们平行或异面．
答案：A
×
√
√
答案：D
[方法技巧]
应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤
答案：C
[方法技巧]
解决平行关系的综合问题的策略
(1)在遇到线面平行时，常需作(或找)出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
(2)线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，要灵活应用，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
分析以上解题过程是否正确，若错误请指出错因，并给出正确的解题过程．
提示：学生在解答中盲目地认为E，B，F，D1四点共面，但由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE＝C1F也没有用到．
二、应用性——强调学以致用
2．高鹏同学家购买了一套新房，为了充分利用自己的房间，他想靠墙角设计一个双层床，上层摆放自己的玩具等物品，但装修师傅却问道：我怎样装修才能使双层床的各层面与地面平行呢？大家想想，装修师傅应该怎样装修？课时跟踪检测 （二十八） 平面与平面平行
层级(一) “四基”落实练
1．已知平面α∥平面β，a α，b β，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a α，b β，∴直线a，b没有公共点．∴直线a，b的位置关系是平行或异面．故选D.
2．已知l∥α，m∥α，l∩m＝P且l与m确定的平面为β，则α与β 的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．相交或平行 D．不确定
解析：选B 因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因为l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.故选B.
3．在正方体EFGH E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：选A 在平面E1FG1与平面EGH1中，因为E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，所以平面E1FG1∥平面EGH1.故选A.
4．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则a与b的位置关系可能是( )
A．平行或相交 B．相交或异面
C．平行或异面 D．平行、相交或异面
解析：选D 当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，
显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β、平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件．故选D.
5．(多选)已知α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题不正确的是( )
A. a∥b B. a∥b
C. α∥β D. α∥a
解析：选BCD 由基本事实4及平行平面的传递性知A正确．举反例知B、C、D不正确．B中a，b可以相交，还可以异面；C中α，β可以相交；D中a可以在α内．故选B，C，D.
6.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
解析：由夹在两平行平面间的平行线段相等可得．
答案：平行四边形
7.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
解析：∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A.
又∵E为BB1的中点，
∴M，N分别为BA，BC的中点．
∴MN＝AC，即＝.
答案：
8.如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.
求证：EC∥A1D.
证明：∵BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，∴BE∥平面AA1D.
∵BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，
∴BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
∴平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，∴EC∥A1D.
层级(二) 能力提升练
1．(多选)如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体说法正确的是( )
A．BM∥DE
B．CN∥平面AF
C．平面BDM∥平面AFN
D．平面BDE∥平面NCF
解析：选BCD 以ABCD为下底面还原正方体，如图．
则易判定B，C，D命题是正确的．
2．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，
由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，所以梯形的高为，
所以梯形的面积为(＋2)×＝.
3．(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则以下四个说法中正确的是( )
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三点共线
D．平面MNQ∥平面APC
解析：选BC A：MN∥AC，连接AM，CN，得AM，CN交于点P，即MN 平面PAC，
所以MN∥平面APC是错误的；
B：平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，
所以C1Q∥平面APC是正确的；
C：由BP＝BD1，以及B知△APB∽△D1PM，
所以A，P，M三点共线是正确的；
D：直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，
又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．
4.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
证明：∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM.又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形．
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC.
∴N为AC的中点．
5.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
所以QB∥PA.
因为QB 平面PAO，PA 平面PAO，
所以QB∥平面PAO.
连接DB.因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以PO为△DBD1的中位线．
所以D1B∥PO.
因为D1B 平面PAO，PO 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO.
又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.
层级(三) 素养培优练
1.(多选)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( )
A．AE∥平面C1BD
B．四面体ACEF的体积不为定值
C．三棱锥A BEF的体积为定值
D．四面体ACDF的体积为定值
解析：选ACD 对于A，如图①，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD.又AE 平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；
对于B，如图②，
S△AEF＝EF·h1＝×1× ＝，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VACEF＝VC AEF＝××d＝d为定值，所以B错误；
对于C，如图③，S△BEF＝×1×3＝，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，
所以VA BEF＝××d＝d为定值，C正确；
对于D，如图④，四面体ACDF的体积为VACDF＝VF ACD＝××3×3×3＝为定值，D正确．故选A、C、D.
2.如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．
(1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由．
解：(1)证明：在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G(图略)．
∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴AE∥DB.
又AM＝DN，∴四边形ADNM是平行四边形，∴MN∥AD.
当点F，A，D不共线时，如图，MG∥AF，NG∥AD.
又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，∴平面GNM∥平面ADF.
又MN 平面GNM，∴MN∥平面ADF.
故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
(2)这个结论不正确．
要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点．理由如下．
当点F，A，D共线时，如题图，易证得MN∥FD.
当点F，A，D不共线时，由(1)知平面MNG∥平面FDA，则要使MN∥FD总成立，
根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可．
若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可．
∵FM 平面ABEF，DN 平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，此时只有M，N分别为AE，DB的中点才满足．
由FM∩DN＝B，可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面．
∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FDA，∴MN∥FD.
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