(共26张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
明确目标 发展素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的垂直关系．
2.理解异面直线所成的角，并掌握两异面直线所成角的求法. 在计算两异面直线所成的角及证明直线与直线垂直的过程中，要利用空间的线、面位置关系，并进行计算，培养逻辑推理、直观想象和数学运算素养.
a′与b′
直角
a⊥b
[微思考] 空间中两条直线所成的角的范围与异面直线所成的角的范围有区别吗？
提示：有区别，空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.异面直线所成角只能是锐角和直角．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直． ( )
(2)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O位置不同时，这一角的大小也不同． ( )
(3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°. ( )
√
×
×
答案：C
[方法技巧]
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)证明：证明找出的角就是异面直线所成的角．
(3)求角：求角度，一般常利用解三角形得出．
(4)定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
[方法技巧]
证明空间的两条直线垂直的方法
(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直．
(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．
[方法技巧]
1．关于补形作异面直线所成的角
当不方便作异面直线所成角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线；二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体．
2．关于异面直线的应用
当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论．
分析以上解析过程，试找出解答的错因，并写出正确的解题过程．
提示：异面直线所成的角α的范围是0°＜α≤90°，故解答错误．因此在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，如果是钝角，它的补角才是两异面直线所成的角．
二、应用性——强调学以致用
2．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是( )
A．梯形 B．空间四边形
C．正方形 D．有一内角为60°的菱形课时跟踪检测 （二十九） 直线与直线垂直
层级(一) “四基”落实练
1．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.
2.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1， B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 ( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：选B 取A1B1中点I，连接IG，IH，则EF∥IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，所以IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.故选B.
3．(多选)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是
AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是 ( )
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
解析：选ABC 如图所示，连接A1B，易知点E为A1B的中点，由三
角形中位线定理可得EF∥A1C1，则EF，A1C1确定一个平面；显然EF与CD异面；由几何关系可得A1C1⊥BB1，A1C1⊥BD，则EF⊥BB1，EF⊥BD.故选A，B，C.
4.(多选)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是 ( )
A．直线CC1与直线B1E相交
B．CC1与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1垂直
解析：选ACD 因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交，A正确．由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确．故选A，C，D.
5．在正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
解析：选C 设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.
6.如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是________．
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠PAB是PA与CD所成的角．
又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.
答案：90°
7.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角．∴∠MPN＝90°.又∵PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝5.
答案：5
8.如图，在长方体ABCD A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.求：
(1)BC和A′C′所成的角；
(2)AA′和BC′所成的角．
解：(1)因为BC∥B′C′，
所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．
在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，
所以∠B′C′A′＝45°.
(2)因为AA′∥BB′，
所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
层级(二) 能力提升练
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成的角为 ( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：选C 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，取AB的中点P，连接B1P，则B1P∥C1M，易得B1P⊥BN，所以异面直线C1M与BN所成的角为90°.故选C.
2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为2，点M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图，延长MB到P，使得BP＝MB.因为M是AB的中点，则MP＝AB.又MP∥A1B1，所以四边形A1B1PM是平行四边形，A1M∥B1P.所以异面直线A1M与B1N所成的角是∠PB1N (或其补角)．又N是BC的中点，所以BP＝BN＝1，NP＝＝
＝.三棱柱是正三棱柱，所以B1P＝B1N＝＝.故cos∠PB1N＝＝＝.
3.如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________．
解析：∵AA1∥DD1，∴∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角．连接BD，
在Rt△D1DB中，
sin∠DD1B＝＝＝.
∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角)．
连接D1C，在△D1BC中，∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，∴D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，D1B2＝BC2＋D1C2.∴∠D1CB＝90°.
∴sin∠D1BC＝＝＝，
故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.
答案：
4．当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，求异面直线D1P与BC1所成角的取值范围．
解：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0,1]，连接AD1，AP(图略)．由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角．在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos∠AD1P＝.又∵x∈[0,1]，∴cos∠AD1P＝∈.又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈.∴异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是.
5.如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝.
求证：AD⊥BC.
证明：取BD的中点H，连接EH，FH.
因为E是AB的中点，且AD＝2，
所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
又因为EF＝，所以EH2＋FH2＝EF2.
所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边．
所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
层级(三) 素养培优练
如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列问题：
(1)求三棱锥A1-APB的体积；
(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2.
∴S△PAB＝×2×2＝2.
∴三棱锥A1-APB的体积VA1-APB＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2.
(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.证明如下：
∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥BP.∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝.∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
