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8．3 ．2 第二课时 球的表面积和体积
[微思考] 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
提示：球没有底面，球的表面不能展开成平面图形．
知识点 球的表面积和体积
(一)教材梳理填空
1．球的表面积：
设球的半径为R，则球的表面积S＝_____，即球的表面积等于它的大圆面积的__倍．
4πR2
4
答案：B
3．若一个球的体积为36π，则它的表面积为________．
答案：36π
√
√
×
[方法技巧]
1．常见几何体与球的切、接问题的解决策略
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
3．若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
________．
答案：100π
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．(2023·新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 ( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
解析：设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即为2，根据截面圆的周长为2π可得2π＝2πr，解得r＝1.由题意知R2＝12＋22＝5，∴该球的表面积为4πR2＝20π.
答案：A 课时跟踪检测 （二十三） 球的表面积和体积
层级(一) “四基”落实练
1．直径为6的球的表面积和体积分别是 ( )
A．144π，144π B．144π，36π
C．36π，144π D．36π，36π
解析：选D 因为半径R＝3.所以S表＝4πR2＝36π，V＝πR3＝×27＝36π.故选D.
2．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为 ( )
A．3 cm B．6 cm
C．8 cm D．12 cm
解析：选D 由πR3＝π·63＋π·83＋π·103，得R3＝1 728，检验知R＝12.故选D.
3．若两个球的半径之比为1∶3，则两个球的表面积之比为 ( )
A．1∶9 B．1∶27
C．1∶3 D．1∶1
解析：选A 由表面积公式知，两球的表面积之比为R∶R＝1∶9.故选A.
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是 ( )
A．S正方体>S球 B．S正方体C．S正方体＝S球 D．无法确定
解析：选A 设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝ ，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.故选A.
5．设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )
A.π cm3 B.π cm3
C.π cm3 D.π cm3
解析：选D 由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为π cm3.故选D.
6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
解析：设新的底面半径为r，由题意得
×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，
解得r2＝7，所以r＝.
答案：
7．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．
解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得②；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得③；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得①，只要是过球心就不可能截出④.
答案：①②③
8.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记 圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.
答案：
9．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．
解：设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球的半径为R，如图．
因为O′A＝××2＝.
在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，
所以R2＝2＋R2，
所以R＝，所以S球＝4πR2＝π.
层级(二) 能力提升练
1．一飞行昆虫被长为12 cm的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为 ( )
A．144π cm3 B．288π cm3
C．576π cm3 D．864π cm3
解析：选B 飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12 cm 的球在房间内的部分，即整个球的，∴飞虫活动范围的体积为××π×123＝288π(cm3)．故选B.
2．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器(底面半径为3 cm，高为10 cm)，共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为________cm2(损耗忽略不计)．
解析：圆柱形容器的体积为V圆柱＝π×32×10＝90π.
设棒棒糖的半径为r，则每个棒棒糖的体积为
V棒棒糖＝πr3＝＝π，
解得r＝，∴S表＝4πr2＝4π×＝9π.
答案：9π
3．在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．
解析：当球的半径最大时，球的体积最大．在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝＝2，直径为4>侧棱．所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V＝.
答案：
4.如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为 10,8,15(单位：cm)，球的直径为5 cm，求该组合体的体积和表面积．
解：根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得V长方体＝10×8×15＝1 200(cm3)．
又V半球＝×πR3＝×π×3＝π(cm3)，
所以所求几何体体积
V＝V长方体＋V半球＝cm3.
因为S长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm2)，
故所求几何体的表面积
S＝S长方体全＋S半球－S半球底＝cm2.
所以该组合体的体积为cm3，表面积为cm2.
5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm， 求球的体积．
解：如图所示，作出轴截面，球心O与边BC，AC分别相切于点D， E.
连接AD，OE.
∵△ABC是正三角形，
∴CD＝AC.
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴＝.
∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm.
设OE＝r，则AO＝－r，
∴＝，∴r＝ cm.
∴V球＝π×3＝π(cm3)，即球的体积为π cm3.
层级(三) 素养培优练
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2 cm，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积．
解：(1)因为底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm，5 cm，由勾股定理知，底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3 cm,4 cm.
又因为三棱住ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2 cm，所以VABC-A1B1C1＝×3×4×2＝12(cm3)．
设圆柱底面圆的半径为r，
则r＝＝＝1，
圆柱体积VOO1＝π×12×2＝2π(cm3)．
所以剩下的几何体的体积V＝(12－2π)cm3.
(2)由(1)可知该直三棱柱的内切球半径为1 cm，
则内切球的体积V＝×13＝ cm3.
直三棱柱ABC-A1B1C1可补形为棱长分别为3 cm，4 cm，2 cm的长方体，
它的外接球的球半径R满足2R＝＝，即R＝ cm.
所以该直三棱柱的外接球的表面积为S＝4π×2＝29π cm2.
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