(共30张PPT)
8.2 立体图形的直观图
明确目标 发展素养
1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤．
2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长 方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. 通过学习空间几何体直观图的画法，经历由空间到平面，再由平面到空间的转换过程，培养数学抽象、直观想象和数学运算素养.
某一点
平行投影
45°
135°
水平面
x′轴或y′轴
原长度不变
一半
3．空间几何体直观图的画法：
画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与 x 轴、y轴都垂直的_____，并且使平行于z轴的线段的________和_____都不变．
[微思考] 空间几何体的直观图唯一吗？
提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．
z轴
平行性
长度
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°. ( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行． ( )
(3)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点． ( )
(4)几何中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中长度为原来的一半． ( )
×
×
√
√
答案：D
答案：C
[典例1] 画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图．
[方法技巧]
画平面图形直观图的关键
(1)在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系．
(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定：另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定．
【对点练清】
画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图．
解：画法：(1)画轴．画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.
(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
[答案] (1)C (2)菱形 24
【对点练清】
1．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？
2．(多选)已知一个矩形ABCD，用斜二测画法得到其直观图A′B′C′D′的周长为2，设AB＝x，BC＝y，下列说法正确的是 ( )课时跟踪检测 （二十） 立体图形的直观图
层级(一) “四基”落实练
1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的 ( )
解析：选C 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成 ( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
解析：选A 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.
3．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面是 ( )
A．任意三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
解析：选C 因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形．故选C.
4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC 的
三边及中线AD中，最长的线段是 ( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
解析：选D 还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．故选D.
5．(多选)下列命题中正确的是 ( )
A．水平放置的角的直观图一定是角
B．相等的角在直观图中仍然相等
C．相等的线段在直观图中仍然相等
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
解析：选AD 水平放置的平面图形不会改变形状，A正确；正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，B错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以C错；平行性不会改变，所以D正确．故选A，D.
6．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是________．(填序号)
解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
答案：①②
7．在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
8．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
解：画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．在x轴上取线段AB，使AB＝4 cm；在y轴上取线段AD，使AD＝ cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则 ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．如图②.
3层级(二) 能力提升练
1．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：选C 如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．故选C.
2. 如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图△A′B′C′，其中D′是A′C′的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有 ( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析：选C 先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形A′B′C′还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.故选C.
3.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.
解析：因为正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ cm，对应原图形平行四边
形OABC的高为2 cm，
所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，
AB＝OC＝＝3(cm)，
故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．
答案：8
4.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′ 轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为多少？
解：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB·h＝2··A′O′·O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.
5.如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按 斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，
取AC的中点E，
连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形(也可以过点C作BC∥y轴，且使CB＝AD＝2，然后连接AB，DC)，如图所示．易知四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝2，AC＝，∴S ABCD＝2×＝2.
层级(三) 素养培优练
1．如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么 ( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
解析：选C 由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．
2．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积．
解：如图①，在直观图中，
过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，
∴BE＝.
∵四边形AECD为矩形，AD＝1，
∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋
1.由此可还原原图形如图②.
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥
B′C′，A′B′⊥B′C′，
∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.
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