课时跟踪检测 （十九） 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
层级(一) “四基”落实练
1．如图所示的图形中有 ( )
A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：选B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故选B.
2．用平面截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是 ( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
解析：选C 由球的定义知选C.
3.如图所示的组合体的结构特征是 ( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
解析：选C 如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．故选C.
4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为 ( )
A．4 B．3
C．2 D．2
解析：选D 圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.故选D.
5．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体是( )
A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体
解析：选B 半圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱．
6．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________．(填序号)
解析：根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形成的是圆锥．
答案：①
7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm，该圆台的轴截面的面积为________cm2.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝
12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝＝13(cm)．
又圆台的轴截面为等腰梯形，
S等腰梯形＝×(6＋16)×12＝132(cm2)．
答案：13 132
8．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
层级(二) 能力提升练
1．(多选)下列说法正确的是 ( )
A．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体
B．一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面
C．旋转体的截面图形都是圆
D．圆锥的侧面展开图是一个扇形
解析：选ABD A、B为定义，均正确；C错误，因为轴截面截圆柱、圆锥、圆台所得截图形分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；D沿母线剪开后，侧面在平面上的展开图是一个扇形，此说法正确．故选A，B，D.
2．若一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．
解析：由题意知球心到截面的距离为1，设截面圆的半径为r，则πr2＝π，所以r＝1.设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2.
答案：2
3．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．
解：作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面
直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线．设
正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x.依题意，得△ABC∽
△ADE，∴＝，∴x＝，即此正方体的棱长为.
4．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解：如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm.
(1)由勾股定理得h＝
＝3 (cm)．故圆台的高为3 cm.
(2)由三角形相似得：＝，
解得x＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
层级(三) 素养培优练
1．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．
解析：由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包含棱切球半径和外接球半径)．设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝×4，所以r＝2；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以(2R)2＝42＋42＋42，所以R＝2.所以球O的半径的取值范围是[2，2]．
答案：[2，2]
2．一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S最大？
解：(1)如图所示，设内接圆柱的底面半径为r，由已知得＝，所
以r＝.
所以S＝2··x＝－x2＋6x，
其中0＜x＜5.
(2)由(1)可知，S＝－x2＋6x(0＜x＜5)，
所以当x＝－＝时，S最大．
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8．1 第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
明确目标 发展素养
1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．
2.了解简单组合体的概念，了解简单组合体的两种基本构成形式. 1.通过对圆柱、圆锥、圆台、球以及简单组合体的认识，培养直观想象、数学抽象素养．
2.通过用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征，培养逻辑推理、直观想象素养.
矩形的一边所在直线
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴的边
圆柱和棱柱
圆柱O′O
[微思考] 圆柱有多少条母线？它们有什么关系？
提示：圆柱有无数条母线，它们平行且相等．
圆锥及相关概念 图形及表示
定义 以_______________________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图中的圆锥记作：__________
相关
概念 轴：_______叫做圆锥的轴；
底面：__________的边旋转而成的圆面；
侧面：__________________旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，_______________都叫做圆锥侧面的母线；
锥体：____________统称为锥体
2．圆锥的结构特征：
直角三角形的一条直角边
旋转轴
垂直于轴
直角三角形的斜边
不垂直于轴的边
棱锥和圆锥
圆锥SO
3.圆台的结构特征：
圆台及相关概念 图形及表示
定义 用平行于_________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
图中的圆台记作：
_________
相关
概念 轴：圆锥的____；
底面：圆锥的底面和_____；
侧面：圆锥的侧面在____________之间的部分；
母线：圆锥的母线在____________之间的部分；
台体：____________统称为台体
圆锥底面
轴
截面
底面与截面
底面与截面
棱台和圆台
圆台OO′
[微思考] 连接圆柱(圆台)上、下底面圆周上各一点构成的线段，是否一定为母线？
提示：不一定．连接圆柱(圆台)上、下底面圆周上两点的线段不一定在侧面上，因此不一定是母线．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱． ( )
(2)圆锥有无数条母线，它们的公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ( )
(3)圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点． ( )
答案：B
2．下列图形中是圆柱的是 ( )
×
×
√
3．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
知识点二 球的结构特征
(一)教材梳理填空
球及相关概念 图形及表示
定义 半圆以它的______所在直线为旋转轴，旋转一周形成的______叫做球面，______所围成的旋转体叫做球体，简称球
图中的球记
作：_____
相关
概念 球心：半圆的______叫做球的球心；
半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；
直径：连接球面上两点并且经过_____的线段叫做球的直径
直径
曲面
球面
圆心
球心
球O
[微思考] 球和球面有何区别？
提示：球与球面是两个完全不同的概念，球不仅包括球的表面，同时还包括球面所围的空间，它是一个“实心”的几何体，而球面仅指球的表面．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)球的直径必过球心． ( )
(2)球能由圆面旋转而成． ( )
(3)用一个平面去截球，得到的截面是一个圆． ( )
√
√
×
2．给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面．
其中正确说法的序号是________．
答案：①③
知识点三 简单组合体的结构特征
(一)教材梳理填空
1．简单组合体的定义：
由____________组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．简单组合体的两种基本形式：
(1)由简单几何体拼接而成；
(2)由简单几何体截去或挖去一部分而成．
简单几何体
(二)基本知能小试
1．如图，日常生活中常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是 ( )
答案：B
[答案] A
[方法技巧]
1．判断旋转体形状的步骤
(1)明确旋转轴l.
(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系．
(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状．
2．与简单旋转体的截面有关的结论
(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面．
(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示
【对点练清】
下列命题正确的是 ( )
A．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线
B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体 是圆台
C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连 线都可以构成直角三角形
D．用平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台
[方法技巧]
识别简单组合体的结构特征的策略
(1)组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．
(2)用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)，进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体．
解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．
2．描述下列几何体的结构特征．
[方法技巧]
解决旋转体中计算问题的方法策略
(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可．
【对点练清】
1．若将本例中的条件变为“已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm,2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm”，则圆台的母线长为________．
答案：ACD
