(共30张PPT)
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
明确目标 发展素养
1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
2.知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 在计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的过程中，把实际问题转化为数学问题并计算，培养直观想象、数学建模和数学运算素养.
第一课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
πr2
2πrl
2πrl＋2πr2
πr2
πrl
πrl＋πr2
πr′2
πr2
πl(r＋r′)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
续表
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长． ( )
(2)若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形．( )
2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于 ( )
A．15 B．15π
C．24π D．30π
答案：B
3．若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 ( )
A．2π B．3π
C．π D．4π
答案：D
√
×
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积公式
(一)教材梳理填空
πr2h
(二)基本知能小试
1．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．
答案：12π
2．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为________．
答案：7π
名称 侧面展开图 底面 表面积
圆柱 矩形 两个全等的圆 侧面积＋底面积
圆锥 扇形 一个圆
圆台 扇环 两个同心圆
[方法技巧]
圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤
(1)得到空间几何体的平面展开图．
(2)依次求出各个平面图形的面积．
(3)将各平面图形的面积相加．
答案：A
答案：D
解析：由本例(3)知，圆台的母线长为5，所以圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.
答案：80π
题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积
【学透用活】
对于圆柱、圆锥、圆台的体积公式的几点认识：
(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同；
(2)等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍；
(3)求圆台的体积转化为求圆锥的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积；
(4)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
[答案] (1)B (2)21π
[方法技巧]
求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算．
答案:D
答案：A
答案:D
二、应用性——强调学以致用
2．某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4 m(高不变)；方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积；
(3)哪个方案更经济些？为什么？
(3)由(1)(2)知，V1层级(一) “四基”落实练
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为 ( )
A．48 B．64
C．16 D．96
解析：选B 设正方体的边长为a，则6a2＝96，
∴a＝4，∴V正方体＝a3＝64.故选B.
2．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为 ( )
A．6 B．12
C．24 D．48
解析：选D 正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.故选D.
3.如图，ABC A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA′B′B的体积
是 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵VC A′B′C′＝VABC A′B′C′＝，
∴VC AA′B′B＝1－＝.故选C.
4.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距 离为1 m，则这个六棱柱的体积为 ( )
A. m3 B. m3
C. m3 D. m3
解析：选B 设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以六棱柱的体积V＝×2×6×＝(m3)．故选B.
5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：C 设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m.依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am ①，易知h2＋a2＝m2 ②，由①②得m＝a，所以＝＝.故选C.
6．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1 ACD的体积是_______．
解析：三棱锥D1 ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝··AD·DC·D1D＝×＝.
答案：
7．长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是________．
解析：依题意，设三条棱的长分别为x,2x,3x，则＝2，解得x＝2，即三条棱长分别为2,4,6，于是体积V＝2×4×6＝48.
答案：48
8.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC 两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P ABC的体积V.
解：三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．
故VP ABC＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.
层级(二) 能力提升练
1.如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1 AEF的体积为2，则四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积为 ( )
A．12 B．8
C．20 D．18
解析：选A 设点F到平面ABB1A1的距离为h，
由题意得
VA1 AEF＝VF A1AE＝S△A1AE·h＝×·h
＝(AA1·AB)·h＝·S四边形ABB1A1·h
＝VABCD A1B1C1D1，
所以VABCD A1B1C1D1＝6VA1 AEF＝6×2＝12.
所以四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积为12.
2．若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为
( )
A．a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析：选C 如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是 AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a，
∴DE＝OD－O1D1＝a.
在Rt△DED1中，D1E＝a，
则D1D＝ ＝＝a.
∴S侧＝3×(a＋2a)a＝a2.
3．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图①，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图②，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图①中水面的高度为 ( )
A. B.
C．2 D.
解析：选D 因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB E1F1C1B1的体积V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设如图①中水面的高度为h，则S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝.故选D.
4.(2024·天津高考)一个五面体ABC DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为( )
A. B.＋
C. D.－
解析：选C 因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝×1××1＋××＝，故选C.
5.如图，已知正三棱锥S ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，∴3×a×h′＝2×a2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
5．若E，F是三棱柱ABC A1B1C1的侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A BEFC的体积．
解：如图所示，连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥A BEFC的高与四棱锥A B1EFC1的高相等，
∴VA BEFC＝VA B1EFC1＝VA BB1C1C.
又VA A1B1C1＝S△A1B1C1·h，VABC A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，
∴VA A1B1C1＝，
∴VA BB1C1C＝VABC A1B1C1－VA A1B1C1＝m，
∴VA BEFC＝×m＝，
即四棱锥A BEFC的体积是.
层级(三) 素养培优练
1．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
解析：选C 如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.
2.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．
解：(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，
∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.
又梯形ABB1A1的高h′＝
＝4(cm)，
∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)，
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝144＋120(cm2)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时跟踪检测 （二十二） 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
层级(一) “四基”落实练
1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是 ( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析：选C 易知得到的几何体为圆柱，底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为 ( )
A．7 B．6 C．5 D．3
解析：选A 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.故选A.
3．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 ( )
A.πR3 B.πR3 C.πR3 D.πR3
解析：选A 设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，则r＝R.又由已知，得圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝＝R，故体积V＝πr2h＝πR3.故选A.
4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为 ( )
A．2 B．2
C．4 D．8
解析：选C 圆台的轴截面如图，
由题意知，l＝(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.故选C.
5.(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，且AB＝BC，则( )
A．三棱锥S-ABC的体积为12
B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为14π
D．该圆锥的母线长为5
解析：选ABD 由题意可得△ABC是等腰直角三角形，由AC＝6可得AB＝BC＝AC＝3，∴S△ABC＝9，即VS-ABC＝×4×9＝12，故A正确；由圆锥体积公式可得V＝π×32×4＝12π，故B正确；由勾股定理及圆锥性质可得其母线SA＝＝5，故D正确；由圆锥的表面积公式可得S＝π×3×(5＋3)＝24π，故C错误．故选A，B，D.
6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.
答案：6π
7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．
解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.
答案：2
8．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？
解：如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，
故S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
圆台的高h＝BC
＝
＝＝4(cm)，
故V圆台＝h(S＋＋S′)
＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．
层级(二) 能力提升练
1．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是 ( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设圆柱底面半径为r，高为h，
则∴r＝，h＝.
∴V＝πr2·h＝π2·＝.
故选D.
2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是 ( )
A．54 B．54π
C．58 D．58π
解析：选A 设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.
令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.故选A.
3．圆柱内有一个内接长方体ABCD A1B1C1D1，长方体的体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，则圆柱的底面半径为________cm，高为________cm.
解析：设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，则圆柱轴截面长 方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，
则所以
即圆柱的底面半径为5 cm，高为 10 cm.
答案：5 10
4．有位油漆工用一把滚筒长度为50 cm，横截面半径为10 cm的刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且滚筒刷以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到1 s)
解：滚筒刷滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积．
因为圆柱的侧面积S侧＝2π×0.1×0.5＝0.1π(m2)，
且滚筒刷以每秒5周的速度匀速滚动，
所以滚筒刷每秒滚过的面积为0.5π m2.
所以油漆工完成任务所需的时间t＝＝≈6.366(s)．故油漆工完成任务所需的时间约是7 s.
层级(三) 素养培优练
已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC，BC＝2，tan∠ABC＝2(如图所示)．
(1)若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，求所得几何体的表面积．
(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离．
解：(1)在直角三角形ABC中，由BC＝2，tan∠ABC＝2，即tan∠ABC＝＝2，得AC＝4.若以AC为轴旋转一周，形成的几何体以BC＝2为半径，AC＝4为高的圆锥，
则AB＝＝6，其表面积为S＝π×22＋π×2×6＝16π.
(2)由问题(1)的圆锥，要使蚂蚁爬行最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形，如图所示，
最短距离就是点B到点B1的距离，∠BAB1＝＝.在△ABB1中，由余弦定理得
BB1＝＝6.
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