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第八章|立体几何初步
8．1 基本立体图形
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
明确目标 发展素养
1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2.能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构. 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的理解，培养直观想象、数学抽象素养．
2.通过认识棱柱、棱锥、棱台的关系，及利用它们的结构特征描述简单物体的结构，培养直观想象、逻辑推理素养.
形状
大小
平面多边形
平面曲线
曲面
封闭
多边形
公共边
公共点
定直线
2．多面体和旋转体：
[微思考] 多面体与旋转体的异同点有哪些？
提示：相同点：两者都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点．
不同点：多面体的表面都是平面多边形，旋转体的表面有的是平面，有的是曲面．
√
√
答案：AB
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(一)教材梳理填空
1．棱柱的结构特征：
定义 有两个面互相______，其余各面都是_______，并且相邻两个四边形的公共边都互相_____，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图示及相关概
念
如图可记作：
棱柱ABCDEF
A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相______的面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的________；
顶点：侧面与底面的___________
分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱……
平行
平行
四边形
平行
公共边
公共顶点
2.几种特殊的棱柱：
直棱柱：侧棱_____于底面的棱柱．
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
正棱柱：底面是___________的直棱柱．
平行六面体：底面是____________的四棱柱．
长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体．
正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体．
垂直
正多边形
平行四边形
3．棱锥的结构特征：
定义 有一个面是_______，其余各面都是有一个公共顶点的_______，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图示
及相
关概
念
如图可记作：
棱锥S ABCD 底面(底)：_________；
侧面：有公共顶点的各个_________；
侧棱：相邻侧面的________；
顶点：各侧面的__________
分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫________．底面是__________，并且顶点与底面中心的连线______于底面的棱锥叫做正棱锥
多边形
三角形
多边形面
三角形面
公共边
正多边形
四面体
公共顶点
垂直
4．棱台的结构特征：
定义 用一个_________________的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图示
及相
关概
念
如图可记作：棱台
ABCD A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的______；
下底面：原棱锥的______；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台……
平行于棱锥底面
截面
底面
[微思考]
(1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行四边形．
(2)棱台的上、下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
提示：根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．
答案：D
√
×
×
3．下列说法中正确的是 ( )
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．仅有一组对面平行的五面体是棱台
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
答案：A
答案：D
[方法技巧]
准确认识棱柱的结构特征
抠定义 判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义
看“面” 观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形
看“线” 观察每相邻两个四边形的公共边是否平行
举反例 通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除
【对点练清】
1．下列命题中，正确的是 ( )
A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
2．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则该棱柱是______棱柱，每条侧棱长为 ________ cm.
解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每 条侧棱长为12 cm.
答案：五 12
[方法技巧]
1．判断一个几何体是棱锥、棱台的两个方法
(1)定义法：
棱锥 棱台
看“底面” 只有一个面是多边形，此面即为底面 有两个互相平行的相似多边形，即为底面
看“侧面” 都是有一个公共顶点的三角形 都是梯形
看“侧棱” 相交于一点 延长后相交于一点
(2)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
答案:A
解析：因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．所以①②③都不是棱台．
答案：①②③
解析：根据题目信息，可得只有相对面的图案相同，展开图同图案不能相邻．故选A.
答案: A
答案:D
解析：显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE-DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确．所以①③正确．
答案：BD
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3.一个正棱锥侧棱与底面边长相等，此正棱锥可能是几棱锥？(请写出所有可能)
解析：设正棱锥侧棱的棱长为a，底面边长为b，底面边数为n，底面的中心到底面的顶点距离为c，则正棱锥的侧棱在底面内的射影为c.
当n＝3,4,5时，都有b>c，此时b＝a都有可能成立，即正棱锥可能是三棱锥、四棱锥、五棱锥；当n＝6时，有b＝c，此时只有b
当n>6时，都有b6)棱锥．
综上，正棱锥可能是三棱锥、四棱锥、五棱锥，且不可能超过五棱锥．
答案：三、四、五课时跟踪检测 （十八） 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
层级(一) “四基”落实练
1．四棱柱有 ( )
A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点
解析：选C 四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．故选C.
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为 ( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
解析：选D 根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．故选D.
3．下面图形中，为棱锥的是 ( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
解析：选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
4.如图所示，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是 ( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
解析：选B 余下部分是四棱锥A′ BCC′B′.故选B.
5．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为 ( )
A．模块①②⑤ B．模块①③⑤
C．模块②④⑤ D．模块③④⑤
解析：选A 结合选项逐一判断，可知只有A符合，故选A.
6．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．
答案：5 3
7．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________．
解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方．
答案：1∶4
8．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
层级(二) 能力提升练
1．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是 ( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．故选D.
2．设条件甲：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长都相等；条件乙：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体，那么甲是乙的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 根据直四棱柱的定义，侧棱垂直于底面，底面是四边形的四棱柱叫做直四棱柱．
对于命题甲，若直四棱柱的棱长都相等，则底面四边形可以是菱形．因此此直四棱柱未必是正方体，即命题甲推不出命题乙；
对于命题乙，正方体一定是棱长都相等的直四棱柱，则命题乙推出命题甲．
因此，命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选C.
3．下列关于几何体特征的判断正确的是( )
A．一个斜棱柱的侧面不可能是矩形
B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥
C．有一个面是n(n>3，n∈N)边形的棱锥一定是n棱锥
D．平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形
解析：选C 斜棱柱的侧面中，可以有的侧面是矩形，所以A不正确；
根据正棱锥的定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以B不正确；
根据棱锥的分类，可得有一个面是n边形的棱锥一定是n棱锥，所以C正确；
平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的平行四边形，所以D不正确．
4．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是A1B1，A1C1的中点，连接
BE，EF，FC，试判断几何体A1EF ABC是什么几何体，并指出它的底面与侧面．
解：∵E，F分别是A1B1，A1C1的中点，且A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC，
∴＝＝＝.
∴△A1EF∽△ABC，且AA1，BE，CF延长后交于一点．
又∵平面A1B1C1与平面ABC平行，∴几何体A1EF ABC是三棱台．其中平面ABC是下底面，平面A1EF是上底面，平面ABEA1，平面BCFE和平面ACFA1是侧面．
5.如图，在三棱锥V ABC中，VA＝VB＝VC＝3，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．
解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在
一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，
∴∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝3，∴AA1＝3.
∴△AEF周长的最小值为3.
层级(三) 素养培优练
1.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角 三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若
以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，
4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
答案：
2．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底 面为正三角形的三棱锥．如图②所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．
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