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第九章 | 统计
9．1 随机抽样
9．1.1 简单随机抽样
明确目标 发展素养
1.了解总体、个体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性．
2.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．
3.会计算总体均值，了解样本与总体的关系. 1.通过对简单随机抽样的概念的学习，培养数学抽象素养．
2.通过选用恰当的简单随机抽样方法解决问题，提高数据分析素养.
调查方式 全面调查 抽样调查
定义 对每一个调查对象都进行____的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中__________
_____进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法
相关概念 总体：在一个调查中，我们把_________的全体称为总体．
个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：我们把从总体中抽取的______
_______称为样本．
样本量：样本中包含的_______称为样本量
调查
抽取一部分
个体
那部
分个体
个体数
调查对象
√
×
×
答案：D
答案：ABD
知识点二 简单随机抽样
(一)教材梳理填空
1．简单随机抽样的概念：
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中_____抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都______，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内_____________________被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
逐个
相等
未进入样本的各个个体
2．抽签法：
先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个_______的盒里，充分_____．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．
3．随机数法：
(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量_____的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除_____的编号，直到抽足样本所需要的个体数．
(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数．
不透明
搅拌
相等
重复
[微提醒] 抽签法与随机数法的优缺点
抽样方法 优点 缺点 适用范围
抽签法 简单易行 总体容量较大时，操作起来比较麻烦 适用于总体中个体数不多的情形
随机数法 简单易行，很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题 当总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便 总体量较大，样本量较小的情形
4．总体平均数与样本平均数：
续表
√
×
×
2．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是 ( )
A．抽签法 B．随机数法
C．随机抽样法 D．以上都不对
答案：B
3．已知一组数据 2,3,5,7,9，那么这组数的平均数为________．
答案：5.2
【对点练清】
下列抽样中，是简单随机抽样的是 ( )
A．从无数个个体中抽取50个个体作为样本
B．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查
C．某班从50名同学中，选出数学成绩前5名的同学代表本班参加数学竞赛
D．一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签
答案：D
【对点练清】
某高校共有50名志愿者被选中参加某志愿服务活动，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案．
解：(1)将50名志愿者编号，号码分别是1,2，…，50.
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒子里，充分搅匀．
(4)从盒子中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上编号对应的志愿者进入样本，组成志愿服务小组．
题型三 随机数法的应用
【学透用活】
[典例3] 现有600个元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数法设计抽样方案？
[解] 第一步：将元件按1～600进行编号．
第二步：用随机数工具产生6个1～600范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号．若生成的随机数有重复，则重新产生随机数．
第三步：与抽中的编号对应的元件就是要抽取的对象．
[答案] (1)6 (2)7
答案：11
答案：0 30
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．某些商家为消费者提供免费塑料袋，使购物消费更加方便快捷，但是我们更应关注它对环境的潜在危害．为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况，统计人员采用了科学的方法，随机抽取了200户，对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计，结果如下表：
每户丢弃塑料袋个数 1 2 3 4 5 6
家庭数/户 15 60 65 35 20 5
(1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数；
(2)假设某市现有家庭100万户，据此估计全市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的总数．
(2)3×365×100＝109 500，故全市所有家庭每年丢弃塑料袋109 500万个．
二、应用性——强调学以致用
2.儿童的喂养及辅食添加是影响儿童生长发育、身体健康的重要因素，喂养不当及辅食添加不正确，容易导致儿童贫血及其他疾病，影响儿童生长发育．为了解某地农村儿童的喂养、辅食添加情况，发现存在的问题，确定儿童的喂养及辅食添加的促进措施，拟在该地农村进行一次3岁以下儿童的喂养、辅食添加情况和贫血相关因素的调查研究．请给出一个合理的抽样方案(该地区共10个县)．
解：可采用如下抽样方案：首先从该地区10个县中随机抽取4个县，其次在随机抽取的各县中随机抽取5个乡(镇)，再次在随机抽取的乡(镇)中随机抽取5个行政村，最后在被抽中的行政村中各抽取24户有3岁以下儿童的住户并且在样本户的3岁以下儿童中随机抽取1名儿童．当抽样村符合要求的家庭不足24户时，将其全部调查，不够的户在邻村补齐(邻村是指距离最近的非抽样村)．(根据实际情况，也可有其他合理的抽样方案)课时跟踪检测 （三十四） 简单随机抽样
层级(一) “四基”落实练
1．下列调查方式合适的是( )
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用全面调查的方式
B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查的方式
C．调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式
D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用全面调查的方式
解析：选C 要了解节能灯的使用寿命，由于调查具有破坏性，所以宜采取抽样调查的方式；要调查所在班级同学的身高，由于人数较少，宜采用全面调查的方式；对全市中学生每天的就寝时间的调查不宜采用全面调查的方式．故选C.
2．新华中学为了了解全校302名高一学生的身高情况，从中抽取30名学生进行测量，下列说法正确的是 ( )
A．总体是302名学生 B．个体是每1名学生
C．样本是30名学生 D．样本量是30
解析：选D 本题是研究学生的身高，故总体、个体、样本数据均为学生身高，而不是学生．
3．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性 ( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定
解析：选B 在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．
4．抽签法中确保样本代表性的关键是 ( )
A．制签 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
答案：B
5．要从100位同学中抽取10位同学调查其期末考试的数学成绩，如图是电子表格软件生成的部分随机数，若从第一个数71开始抽取，则抽取的10位同学的编号依次为_________．
解析：抽取的10位同学的编号依次为71,7,4,1,15,2,3,5,14,11.
答案：71,7,4,1,15,2,3,5,14,11
6．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，从该中学抽取一个容量为n的样本，每人被抽取的可能性均为0.2，则n＝________.
解析：∵＝0.2，∴n＝200.
答案：200
7．某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小，得到如下数据：
直径/cm 12 13 14
频数 12 34 4
估计这50个零件的直径大约为________ cm.
解析：＝＝12.84(cm)．
答案：12.84
8．某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案．
解：第一步，编号，把43名运动员编号为1～43；
第二步，制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；
第三步，搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌；
第四步，抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次(不放回抽样)，从而得到容量为5的入选样本．
9．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数法设计抽样方案？
解：第一步，将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600；
第二步，用随机数工具产生010～600范围内的整数随机数；
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的元件进入样本；
第四步，重复上述过程，直到抽足容量为6的样本．
如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生不同的编号个数等于样本所需要的个数．
层级(二) 能力提升练
1．从一群做游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为
( )
A. B．k＋m－n
C. D．不能估计
解析：选C 设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝，故选C.
2．某学校抽取100位老师的年龄，得到如下数据：
年龄/岁 32 34 38 40 42 43 45 46 48
频数 2 4 20 20 26 10 8 6 4
则估计这100位老师的平均年龄为 ( )
A．42岁 B．41岁
C．41.1岁 D．40.1岁
解析：选C ＝×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)＝41.1(岁)，即这100位老师的样本的平均年龄约为41.1岁．
3．为了调查某市城区某小河流的水体污染状况，就某个指标，某学校甲班的同学抽取了样本量为50的5个样本，乙班的同学抽取了样本量为100的5个样本，得到如下数据：
抽样序号 1 2 3 4 5
样本量为50 的平均数 123.1 120.2 125.4 119.1 123.6
样本量为100的平均数 119.8 120.1 121.0 120.3 120.2
据此可以认定______班的同学调查结果能够更好地反映总体，这两个班的同学调查的该项指标约为________．
解析：由抽样调查的意义可以知道，增加样本量可以提高估计效果，所以乙班同学的调查结果能更好地反映总体，由表可知，该项指标约为120.1. （答案不唯一）
答案：乙 120.1
4．为了鼓励市民节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：
月用水量/m3 18 19 20 21 22 23 24 25 26
频数 2 4 4 6 12 10 8 2 2
物价部门制定的阶梯水价实施方案为：
月用水量 水价(单位：元/m3)
不超过21 m3 3
超过21 m3的部分 4.5
(1)计算这50户居民的月用水量的平均数．
(2)写出水价的函数关系式，并计算用水量为28 m3时的水费．
(3)物价部门制定的水价合理吗？为什么？
解：(1)＝×(18×2＋19×4＋20×4＋21×6＋22×12＋23×10＋24×8＋25×2＋26×2)＝22.12 m3.
(2)设月用水量为x，
则水价为f(x)＝
当x＝28时，f(28)＝4.5×28－31.5＝94.5元．
(3)不合理．从时间上看，物价部门是在8月份调查的居民用水量，而这个月，该市的居民用水量普遍偏高，不能代表居民全年的月用水量，从居民比例上看，仅仅有16户居民，即32%的居民月用水量没有超过21 m3，加重了大部分居民的负担．
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