课时跟踪检测 （三十五） 分层随机抽样获取数据的途径
层级(一) “四基”落实练
1．影响获取数据可靠程度的因素不包括 ( )
A．获取方法设计
B．所用专业测量设备的精度
C．调查人员的认真程度
D．数据的大小
解析：选D 数据的大小不影响获取数据可靠程度．
2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层随机抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：选B 设在高二年级的学生中抽取x名，则有＝，解得x＝8.
3．某学院有4个饲养房，分别养有18,54,24,48只白鼠供实验用．某项实验需抽取24只白鼠，你认为最合适的抽样方法是 ( )
A．在每个饲养房中各抽取6只
B．把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用简单随机抽样法确定24只
C．从4个饲养房中分别抽取3,9,4,8只
D．先确定这4个饲养房应分别抽取3,9,4,8只，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机抽样的方法确定
解析：选D 因为这24只白鼠要从4个饲养房中抽取，所以要用分层随机抽样决定各个饲养房应抽取的只数，再用简单随机抽样从各个饲养房中选出所需白鼠．C中虽然用了分层随机抽样，但在各个饲养房中抽取样本时，没有表明是否具有随机性．故选D.
4．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100 B．150
C．200 D．250
解析：选A 由题意得，＝，
解得n＝100.
5．(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一年级，乙就读于高二年级．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的是 ( )
A．应该采用分层随机抽样
B．应该采用简单随机抽样
C．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
D．乙被抽到的可能性比甲大
解析：选AC 由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样．由于分层随机抽样的抽样比为＝，因此高一年级的1 000人中应抽取100人，高二年级的1 350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此B、D不正确，故选A，C.
6．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层随机抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是________．
解析：在分层随机抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，且为，所以每个个体被抽取的可能性是＝.
答案：
7．已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的平均数分别为45,48,50，各层的样本量分别为30,50,20，估计总体平均数为________．
解析：由题意知＝×45＋×48＋×50＝47.5.
答案：47.5
8．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
单位：人
人数 管理 技术开发 营销 生产 合计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
合计 160 320 480 1 040 2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
解：(1)按老年、中年、青年分层随机抽样，
抽取比例为＝.
故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人．
(2)按管理、技术开发、营销、生产进行分层，用分层随机抽样，抽取比例为＝，
故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人．
层级(二) 能力提升练
1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( )
A．100,10 B．100,20
C．200,10 D．200,20
解析：选D 由题得样本容量为(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝10 000×2%＝200，抽取的高中生人数为2 000×2%＝40人，则近视人数为40×0.5＝20人，故选D.
2．(多选)对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是 ( )
①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层随机抽样
B．②③适宜采用分层随机抽样
C．②适宜采用分层随机抽样
D．③适宜采用简单随机抽样
解析：选CD ①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验，不满足分层随机抽样的方法；
②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适宜采用分层随机抽样的方法；
③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，适合用简单随机抽样．
故选C，D.
3．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于疏忽，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息，可得C产品有________件．
解析：设C产品的数量为x，则A产品的数量为(1 700－x)，C产品的样本量为a，则A
产品的样本量为(10＋a)，由分层随机抽样的定义可知＝＝，解得x＝800.故C产品有800件．
答案：800
4．为预防某种流感病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性，公司将2 000个流感样本分成三组，测试结果如表：
组别 A组 B组 C组
疫苗有效 673 x y
疫苗无效 77 90 z
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的可能性是0.33.
(1)求x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
解：(1)∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的可能性是0.33，
∴＝0.33，解得x＝660.
(2)C组样本个数是y＋z＝2 000－(673＋77＋660＋90)＝500，用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C组抽取的个数为360×＝90.
5．某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：
年级 高一年级 高二年级 高三年级
女生 487 x y
男生 513 560 z
已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的可能性是0.18.
(1)问高二年级有多少名女生？
(2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？
解：(1)由＝0.18得x＝540，所以高二年级有540名女生．
(2)高三年级人数为：y＋z＝3 000－(487＋513＋540＋560)＝900.
∴×300＝90，故应从高三年级抽取90名学生．
层级(三) 素养培优练
某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本．
(1)试确定用何种方法抽取，请具体实施操作；
(2)在本题中的抽样方法公平合理吗？请说明理由．
解：(1)∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层随机抽样方法较妥．
∵＝5，∴＝2，＝14，＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00,01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
(2)从100人中抽取20人，总体中每一个个体的入样可能性都是＝，即抽样比，按此比例在各层中抽取个体；副处级以上干部抽取10×＝2人，一般干部抽取70×＝14人，工人抽取20×＝4人，以保证每一层中每个个体的入样可能性相同，均为，故这种抽样是公平合理的．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
9．1.2&9.1.3 分层随机抽样 获取数据的途径
明确目标 发展素养
1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围．
2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．
3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．
4.知道获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等. 1.通过对分层随机抽样的学习，培养数学抽象、数据分析素养．
2.在获取数据的过程中，培养数学建模素养.
1．分层随机抽样的定义：
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行_________抽样，再把所有子总体中抽取的样本__________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
简单随机
合在一起
2．比例分配：
在分层随机抽样中，如果每层_______都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．即
样本量
[微思考]
(1)什么情况下适用分层随机抽样？
提示：当总体中个体之间差异较大时可使用分层随机抽样．
(2)简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？
提示：区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样是先将总体分成几层，然后在各层中按比例分配抽取样本．
联系：①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小． ( )
(2)由于分层随机抽样是在各层中按比例抽取，故每个个体被抽到的可能性不一样． ( )
(3)从全班40名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽 样．Q ( )
×
×
×
2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )
A．抽签法 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．随机数法
答案：C
3．为了保证分层随机抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求 ( )
A．每层等可能抽取
B．每层抽取的个体数相等
C．按每层所含个体在总体中所占的比例抽样
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
答案：C
4．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层随机抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 ( )
A．9,7 B．10,6
C．8,8 D．12,4
答案：A
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)要得到某乡镇的贫困人口数据，可以通过试验获取数据． ( )
(2)要了解一批节能灯的使用寿命，可以采用普查的方式． ( )
(3)普查获取的资料更加全面、系统，抽样调查更方便、快捷． ( )
2．下列问题可以用普查的方式进行调查的是 ( )
A．检验一批钢材的抗拉强度
B．检验海水中微生物的含量
C．调查某小组10名成员的业余爱好
D．检验一批汽车的使用寿命
答案：C
×
×
√
3．下列要研究的数据一般通过试验获取的是 ( )
A．某品牌电视机的市场占有率
B．某电视连续剧在全国的收视率
C．某校七年级一班的男女同学的比例
D．某型号炮弹的射程
答案：D
[解析] A项总体中个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C、D项总体中个体无明显差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B项总体中个体差异明显，适合用分层随机抽样．
[答案] B
[方法技巧]
分层随机抽样的特点
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)样本能更充分地反映总体的情况．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
【对点练清】
某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是 ( )
A．高一学生被抽到的可能性最大
B．高二学生被抽到的可能性最大
C．高三学生被抽到的可能性最大
D．每位学生被抽到的可能性相等
答案：D
题型二 分层随机抽样的设计与应用
【学透用活】
[典例2] 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
[方法技巧]
分层随机抽样的步骤
【对点练清】
某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
[答案] (1)B (2)6
【对点练清】
1．2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取________人．
答案：1 800
题型四 获取数据途径的选择
【学透用活】
[典例4] 下列哪些数据一般是通过试验获取的 ( )
A．1988年济南市的降雨量
B．2023年新生儿人口数量
C．某学校高一年级同学的数学测试成绩
D．某种特效中成药的配方
[解析] 某种特效中成药的配方的数据只能通过试验获得．
[答案] D
[方法技巧]
选择获取数据的途径的依据
选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性．
【对点练清】
1．为了研究近年来我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是 ( )
A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据
解析：因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小 明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据．
答案：D
2.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜,建造“中国天眼”的目的是( )
解析： “中国天眼”主要是通过观察获取数据．
答案：C
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．某工厂为了了解员工的工作效率，需调查A，B，C三类工种的职工工作情况，已知在该厂的全体职工中，A工种占40%，B工种占50%，C工种占10%.现用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取一个样本容量为n的样本．试确定：
(1)若n＝200，则在A工种、B工种、C工种中分别应抽取多少人？
(2)若抽取的A工种比C工种多30人，则抽取的B工种有多少人？
解：(1)若n＝200，则在A工种中抽取的人数为200×40%＝80，
B工种中抽取的人数为200×50%＝100，
C工种中抽取的人数为200×10%＝20.
(2)若抽取的A工种比C工种多30人，则40%×n－10%×n＝30，解得n＝100，
则抽取的B工种的人数为100×50%＝50.
二、应用性——强调学以致用
2．某校有高一年级学生520人，高二年级学生500人，高三年级学生x人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到不同年级学生的消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小．
(1)应采用怎样的抽样方法？
(2)按(1)中的抽样方法，在高一年级中抽取26人，则该校的高三年级的学生共有多少人？
解：(1)因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层随机抽样．
