课时跟踪检测 （三十九） 有限样本空间与随机事件
层级(一) “四基”落实练
1．下列事件中，是必然事件的是 ( )
A．13个人中至少有两个人生肖相同
B．长度为4,5,6的三条线段可以构成一个直角三角形
C．方程x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实根
D．函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数
解析：选A A为必然事件，B、C为不可能事件，D为随机事件．
2．同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点个数是 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D 因为事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共包含6个样本点．故选D.
3．(多选)下列四个命题中正确的是 ( )
A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B．“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件
C．“每年的国庆节都是晴天”是必然事件
D．“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件
解析：选ABD “每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故C项错误；A、B、D的判断均正确．
4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为复数z＝a＋bi的实部和虚部，则事件“复数z为纯虚数”包含的样本点共有 ( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
解析：选C “复数z为纯虚数”包含的样本点的特征是a＝0，b≠0，又A中有9个非零常数，故选C.
5．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为 ( )
A．18 B．19
C．20 D．21
解析：选B 一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个．方程有实数根，需满足b2－4c≥0.样本点中满足b2－4c≥0的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19个．
6．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验的样本点共有________个．
解析：该生选报的所有可能情况是：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)，所以试验的样本点共有3个．
答案：3
7．连续抛掷3枚硬币，研究正面向上的情况，则其样本空间Ω＝
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
解析：用列举法一一列举出来， {(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
答案：{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}
8．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________________________，满足“它是偶数”的样本点个数为________．
解析：样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7，8,9，10}，其中满足“它是偶数”的样本点有：2,4,6,8,10，共有5个．
答案：Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 5
9．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天1人值班，试写出值班顺序的样本空间．
解：样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．
10．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？
解：以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)“三人出拳相同”包含的样本点为：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．
层级(二) 能力提升练
1．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点共有
( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选C 从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个．
2．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为 ( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
解析：选C 由题意，10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.
3．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“为整数”这一事件包含的样本点个数为________个．
解析：先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点．用A表示满足条件“为整数”的事件，则A＝{(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}，共8个样本点．
答案：8
4．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10，共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该试验的样本空间Ω；
(2)写出A，B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A包含的样本点为：S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10.
B包含的样本点为：S7，S8，S9，S10.
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
5．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)表示一个样本点．
(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个样本点？“a＜3且b＞1”呢？
(2)“ab＝4”这一事件包含哪几个样本点？“a＝b”呢？
解：这个随机试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(1)“a＋b＝5”这一事件包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“a＜3且b＞1”这一事件包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(2)“ab＝4”这一事件包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“a＝b”这一事件包含以下4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
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9．2 用样本估计总体
9．2.1 总体取值规律的估计
明确目标 发展素养
1.选择适当的统计图表对数据进行可视化描述．
2.结合实例，理解并掌握统计图表的画法及应用，能用样本估计总体的取值规律. 1.通过对统计图表的学习，培养数学抽象、直观想象素养．
2.通过应用统计图表估计总体的取值规律，培养数据分析素养.
极差为一组数据中________________的差．
第二步，决定组距与组数．
第三步，将数据分组．
通常对组内数据取”__________区间，最后一组数据取闭区间．
最大值与最小值
左闭右开
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)用样本的频率分布可以估计总体分布． ( )
(2)频率分布直方图的纵轴表示频率． ( )
(3)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数． ( )
2．一个容量为80的样本中，数据的最大值为152，最小值为60，组距为10，应将样本数据分为 ( )
A．10组 B．9组
C．8组 D．7组
√
×
×
答案：A
3．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)内的汽车有 ( )
答案：C
知识点二 其他几类常用的统计图
(一)教材梳理填空
统计图表 主要应用
扇形图 直观描述各类数据占总数的______
条形图和
直方图 直观描述不同类别或分组数据的____________
折线图 描述数据随______的变化趋势
比例
频数和频率
时间
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)解决统计类问题时常需要将若干种统计图结合，不能孤立分开．( )
(2)扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例． ( )
2．把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到 ( )
答案：D
3．某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是________．
答案：0.1
[探究发现]
(1)要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？
提示：分组、频数累计、计算频数和频率．
(2)画频率分布直方图时，如何决定组数与组距？
(3)同一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图也会不同吗？
提示：不同．对于同一组数据分析时，要选好组距和组数，不同的组距与组数对结果有一定的影响．为了方便，往往按等距分组，或者除了第一和最后的两段，其他各段按等距分组．
【学透用活】
[典例1] 某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)：
48 64 52 86 71 48 64 41 86 79
71 68 82 84 68 64 62 68 81 57
90 52 74 73 56 78 47 66 55 64
56 88 69 40 73 97 68 56 67 59
70 52 79 44 55 69 62 58 32 58
根据上面的数据，回答下列问题：
(1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少？
(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图．
(3)分析频率分布直方图，你能得出什么结论？
[解] (1)这次测验成绩的最低分是32分，最高分是97分．
(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[30,40) 1 0.02
[40,50) 6 0.12
[50,60) 12 0.24
[60,70) 14 0.28
[70,80) 9 0.18
[80,90) 6 0.12
[90,100] 2 0.04
合计 50 1.00
频率分布直方图如图所示：
【对点练清】
如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).
区间
界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142)
人数 5 8 10 22 33
区间
界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158]
人数 20 11 6 5
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．
解：(1)样本频率分布表如下：
分组 频数 频率
[122,126) 5 0.04
[126,130) 8 0.07
[130,134) 10 0.08
[134,138) 22 0.18
[138,142) 33 0.28
分组 频数 频率
[142,146) 20 0.17
[146,150) 11 0.09
[150,154) 6 0.05
[154,158] 5 0.04
合计 120 1.00
(2)其频率分布直方图如下：
(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
题型二 频率分布直方图的应用
【学透用活】
[典例2] 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【对点练清】
1．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ( )
答案:D
2．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50～350千瓦时范围内，频率分布直方图如图所示．
题型三 其他统计图及应用
【学透用活】
[典例3] 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2021年1月至2023年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 ( )
A.年接待游客量逐年增加
B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月
C. 2021年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
[解析] 由2021年1月至2023年12月期间月接待游客量的折线图得：在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；在C中，2021年1月至12月月接待游客量的中位数小于30万人，故C错误；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选C.
[答案] C
解析：由扇形统计图可知参加数学类的人数为200×31%＝62，参加理化类的人数为200×15%＝30，故参加数学类的人数比参加理化类的人数多62－30＝32.
答案：C
2．(多选)新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项正确的是 ( )
A．乡村人口数均高于城镇人口数
B．城镇人口比重的极差是50.63%
C．城镇人口数达到最高峰是第7次
D．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第6次
解析：对于A,2020年城镇人口数高于乡村人口数，A错误；对于B，城镇人口比重的极差为63.89%－13.26%＝50.63%，B正确；对于C，城镇人口数最高峰为2020年，即第7次，C正确；对于D，和前一次相比，第6次普查，城镇人口比重增量为49.68%－36.22%＝13.46%；第7次普查，城镇人口比重增量为63.89%－49.68%＝14.21%；则城镇人口比重增量最大的是第7次，D错误．故选B，C.
答案：BC
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
0≤t<5 0 0
5≤t<10 10 0.10
10≤t<15 10 ②
15≤t<20 ① 0.50
20≤t≤25 30 0.30
合计 100 1.00
解答下列问题：
(1)这次抽样的样本量是多少？
(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图．
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
解：(1)样本量是100.
(2)①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分．
二、应用性——强调学以致用
2．随机抽取某校高二年级100名学生，测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数；
(2)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数．阿
解：(1)由频率分布直方图可知，5×(0.01＋0.07＋x＋0.04＋0.02)＝1，解得x＝0.06.身高在170 cm 及以上的学生人数为100×5×(0.06＋0.04＋0.02)＝60.
