课时跟踪检测 （三十七） 总体百分位数的估计 总体集中趋势的估计
层级(一) “四基”落实练
1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是 ( )
A．14 B．17
C．19 D．23
解析：选D 因为8×70%＝5.6，故第70百分位数是第6项数据23.
2．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,3，则样本平均值约为 ( )
A．4.67 B．4.5
C．12.5 D．1.64
解析：选A 由条件得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×3)≈4.67.
3．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是 ( )
A．众数 B．中位数
C．平均数 D．都不会
解析：选A 众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．
4．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：
得分 8 13 18 22 28 33 37
频数 1 3 4 1 3 1 2
则这15场得分的中位数和众数分别为 ( )
A．22,18 B．18,18
C．22,22 D．20,18
解析：选B 根据表中数据可知，得分频率最高的为18，故众数为18，将得分按从小到大顺序排序，排在中间位置的为18，故中位数为18，故B.
5. (多选)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论正确的是 ( )
A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25
B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5
C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320
D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32
解析：选ABC 由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.
6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：93,91,94,96,90,92,89,87，则这组数据的中位数和平均数分别是________．
解析：数据从小到大排列后可得其中位数为＝91.5，
平均数为＝91.5.
答案：91.5,91.5
7．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则60分为成绩的第________百分位数．
解析：因为[20,40)，[40,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的第30百分位数．
答案：30
层级(二) 能力提升练
1．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5，x,6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是( )
A．[4.5，＋∞) B．[4.5,6.6)
C．(4.5，＋∞) D．[4.5,6.6]
解析：选A 因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A.
2．以下为甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．
甲：9 12 x 24 27
乙：9 15 y 18 24
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．12, 15 B．15, 15
C．15, 18 D．18, 18
解析：选C 因为甲组数据的中位数为15，所以x＝15，又乙组数据的平均数为16.8，所以＝16.8，y＝18，选C.
3．(多选)AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某市1月1日到12日AQI指数徝的统计数据，则下列叙述正确的是 ( )
A．这12天的AQI指数值的中位数是90
B．从1月4日到9日，空气质量越来越好
C．这12天的AQI指数值的平均值为100
D．这12天的AQI指数值的第75百分位数是136.5
解析：选BD 把12个数据按照从小到大重新排列，即
67,72,77,85,92,95,104,111,135,138,144,201，可得中位数为＝99.5，所以A错误；从1月4日到9日AQI指数值逐渐降低，即空气质量越来越好，所以B正确；×(67＋72＋77＋85＋92＋95＋104＋111＋135＋138＋144＋201)≈110.08，所以C错误；因为i＝12×75%＝9，所以第75百分位数是＝136.5，所以D正确．故选B，D.
4．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；
(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．
解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.
(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的95%分位数在[40,45]内，因此志愿者年龄的95%分位数为40＋×5＝42.5岁．
答案：(1)0.04 (2)42.5
5.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据 男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图．
(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考．
解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20.
(3)设分数的第15百分位数为x，由(2)可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50,60)，则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15，解得x＝55，所以本次考试的及格分数线为55分．
层级(三) 素养培优练
某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.
(1)求样本容量及样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的个数；
(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的关系式为y＝求这批产品平均每个的利润．
解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3.
设样本容量为n，
∵样本中产品净重小于100克的个数是36，
∴＝0.300，∴n＝120.
∵样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的频率为(0.05＋0.100＋0.150)×2＝0.6，
∴样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的个数是120×0.6＝72.
(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.1，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，0.075×2＝0.15，
∴其相应的频数分别为120×0.1＝12，120×0.75＝90,120×0.15＝18，
∴这批产品平均每个的利润为×(4×12＋5×90＋6×18)＝5.05(元)．
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9．2.2&9.2.3 总体百分位数的估计 总体集中趋势的估计
明确目标 发展素养
1.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．
2.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义. 通过总体百分位数的估计，平均数、中位数、众数的计算及应用，培养数学运算、数据分析、数学抽象素养.
p%
2．求百分位数的步骤：
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：
第1步，按从_______排列原始数据．
第2步，计算i＝________.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的_______．
小到大
n×p%
平均数
[微思考]
(1)班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？
提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．
(2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
答案：A
√
×
×
答案：A
知识点二 总体集中趋势的估计
(一)教材梳理填空
1．众数、中位数和平均数的定义：
(1)众数：一组数据中______________的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于_____位置的数．如果个数是偶数，则取______两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的____除以数据个数所得到的数．
出现次数最多
中间
中间
和
2．众数、中位数和平均数的比较：
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
续表名称 优点 缺点
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
3．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：
(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的_______与小矩形的_____的乘积之和近似代替．
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______．
(3)众数：众数是_____小矩形底边的中点所对应的数据．
横坐标
面积
相等
最高
[微思考]
(1)中位数一定是样本数据中的一个数吗？
提示：不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数是中位数．
(2)一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？
提示：一组数据的众数可能一个都没有(这组数全不相等)，可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)一组数据中的平均数和中位数都不一定是原数据中的数． ( )
(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据． ( )
(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． ( )
2．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84，则这组分数的中位数和众数分别是 ( )
A．84,85 B．84,84
C．85,84 D．85,85
答案：B
3．已知一组数据7.5,8.0,8.4,7.8,8.3，那么这组数据的平均数为________．
答案：8.0
√
×
×
题型一 百分位数的计算及应用
【学透用活】
[典例1] (1)已知甲、乙两组数据如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
则甲、乙两组数据的第25%分位数分别为________，________；第75%分位数分别为________，________.
(2)如图所示是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________．(结果保留两位小数)
[答案] (1)2.5 1 9.5 12 (2)124.44
题型二 众数、中位数、平均数的计算
【学透用活】
[典例2] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理下表：
亩产量 [900，
950) [950，
1 000) [1 000，
1 050) [1 050，
1 100) [1 100，
1 150) [1 150，
1 200]
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
(2)已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
[答案] (1)C (2)D
答案：9.6 9.6
答案：A
日期 2月 2月 2月 2月 2月
14日 15日 16日 17日 18日
销售 白天 35 32 43 39 51
量/件 晚上 46 42 50 52 60
已知摊位租金900元/档，售余精品可以进货价退回厂家．
(1)求表中10个销售数据的中位数和平均数．
(2)明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归承包者所有．如果其他条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理？
