课时跟踪检测 （三十八） 总体离散程度的估计
层级(一) “四基”落实练
1．数据101,98,102,100,99的标准差为 ( )
A. B．0
C．1 D．2
解析：选A ∵＝(101＋98＋102＋100＋99)＝100，
∴s2＝[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(100－100)2＋(99－100)2]＝2，s＝.
2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为 ( )
A．8 B．15
C．16 D．32
解析：选C 已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16，故选C.
3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为 ( )
A．3 B．2
C．2.6 D．2.5
解析：选C 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.
4．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选D ∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，
∴＝1，解得a＝－1.则样本的方差
s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，
故标准差为.故选D.
5．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则 ( )
A.A＞B>，sA>sB B.AsB
C.A>B，sA解析：选B A＝(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，
B＝(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝≈11.67.
s＝[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，
s＝2＋2＋2＋2＋2＋2≈3.47.
故A＜B，sA＞sB.
6．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________．
解析： x2－5x＋4＝0的两根为1,4，当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1，所以a＝1，b＝4，s2＝5.
答案：5
7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差为 ，则xy＝________.
解析：由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.
又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝()2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，
(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.
答案：96
8．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：
天数 151～ 181～ 211～ 241～ 271～ 301～ 331～ 361～
180 210 240 270 300 330 360 390
灯管数 1 11 18 20 25 16 7 2
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
解：(1)各组的组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．
(2)×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.6.
故标准差为≈46.
估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适．
层级(二) 能力提升练
1．(2023·新课标Ⅰ卷) (多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
解析：选BD 取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为，故A、C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．故选B，D.
2．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为 ( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选D 由题意得，＝108，①
＝35.2，②
由①②解得或所以|x－y|＝18.
3．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．
解析：不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数．
由条件知
即
又x1，x2，x3，x4为正整数，
∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.
∵s＝＝1，
∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.
由此可得4个数分别为1,1,3,3.
答案：1,1,3,3
4．古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务．为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数(满分100分)，从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数(成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如表所示的频数分布表.
样本分数段 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 5 10 20 a 25 10
(1)求频数分布表中a的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
(2)已知落在[50,60)的分数的平均值为56，方差是7；落在[60,70)的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2.
解：(1)由5＋10＋20＋a＋25＋10＝100，解得a＝30.
前三段的频率之和为＋＋＝0.35<0.5，
前四段的频率之和为＋＋＋＝0.65>0.5，
0．5－(0.05＋0.1＋0.2)＝0.15，由成绩在[70,80)段的频率为0.3，所以中位数为＝75.
＝45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×
＝2.25＋5.5＋13＋22.5＋21.25＋9.5＝74.
(2)由题表可知，分数在[50,60)的问卷为10份，分数在[60,70)的问卷为20份，
故＝＝62，
s2＝×[10×(56－62)2＋10×7＋20×(65－62)2＋20×4]＝23.
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23.
层级(三) 素养培优练
1．(多选)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.则下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是分层随机抽样
B．这5名男生成绩的中位数小于这5名女生成绩的众数
C．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
解析：选BC 若抽样方法是分层随机抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错误；这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的众数为93，因为90<93，所以B正确；这5名男生成绩的平均数1＝＝90，这5名女生成绩的平均数2＝＝91，故这5名男生成绩的方差为×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这5名女生成绩的方差为×[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以C正确，D错误．
2．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值．
(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．
解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值：
甲＝×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(mm)，
乙厂10个轮胎宽度的平均值：
乙＝×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)．
(2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，平均数：1＝×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，
方差：s＝×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝，
乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，
平均数：2＝×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195，
方差：s＝×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝.
∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，
∴乙厂的轮胎相对更好．
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9．2.4 总体离散程度的估计
明确目标 发展素养
结合实例，能用样本估计总体的离散程度，理解离散程度参数(标准差、方差、极差)的统计含义. 通过对标准差、方差的学习，培养数学抽象、数据分析素养.
2．总体方差和标准差：
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝____________为总体方差，S＝_____为总体标准
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝______________
3．样本方差和标准差：
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝_________________为样本方差，s＝______为样本标准差．
4．标准差的意义：
标准差刻画了数据的__________或__________，标准差越大，数据的离散程度越____；标准差越小，数据的离散程度越_____.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若两组数据的方差一样大，则说明这两组数据都是相同的． ( )
(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0. ( )
(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散． ( )
×
×
√
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 ( )
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
答案：B
答案：A
题型一 方差和标准差的计算
【学透用活】
[典例1] 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差．
【对点练清】
从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.
求：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
【对点练清】
针对某市A，B两个小区进行居民每月用电量调查，拟采用分层随机抽样的方法，抽取A小区1号楼12户每月用电量数据，其平均数和方差分别为198.5和10.22；2号楼15户每月用电量数据，其平均数和方差分别为210.0和20.22；3号楼13户每月用电量数据，其平均数和方差分别为168.0和28.56.抽取B小区1号楼10户每月用电量数据，其平均数和方差分别为170.6和27.15；2号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为200.2和14.55；3号楼20户每月用电量数据，其平均数和方差分别为180.5和19.56，可以推测A，B两个小区每月用电量更稳定的是________小区．
答案：B
题型三 数据的数字特征的综合应用
[探究发现]
(1)对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？
提示：用平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．
(2)对比两组数据时，要从哪几个方面进行？
提示：从众数、中位数、平均数和方差等几个方面
【学透用活】
[典例3] 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数 50 60 70 80 90 100
人
数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
小麦 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
分析以上解答是否正确，若不正确，请指出错误之处，并给出正确解题过程．
提示：以上解答错误，原因是只比较了两种冬小麦的平均产量而忽略了冬小麦产量稳定性的讨论．
班级 平均分 众数 中位数 标准差
高一(1)班 79 70 87 19.8
高一(2)班 79 70 79 5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了．”
(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议．
解析：不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，且x1足要求，此时对应的样本数据为x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足和为20，因此不存在满足条件的另一组数据．故选B.
答案：B
