(共26张PPT)
10．1.3 古典概型
明确目标 发展素养
结合具体实例，理解古典概型的概念及特征．能计算古典概型中简单随机事件的概率. 通过对古典概型概念的学习，培养数学抽象、数学建模、数学运算素养.
知识点 古典概型
(一)教材梳理填空
1．事件的概率：
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型的定义：
(1)有限性：样本空间的样本点只有_____个．
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_____．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
有限
相等
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任何一个事件都是一个样本点． ( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． ( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． ( )
2．下列试验中，是古典概型的为 ( )
A．种下一粒花生，观察它是否发芽
B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心 O重合
C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率
答案：C
×
√
√
答案：C
[解析] A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
[答案] C
解析：A、B、D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
答案:ABD
【学透用活】
[典例2] 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
(1)列出所有可能结果；
(2)求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
(3)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
题型三 较复杂的古典概型概率的计算问题
【学透用活】
[典例3] 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：
(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．
【课堂思维激活】
1．王斌同学在解答问题“同时掷两枚骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？”时，给出了如下答案：
记{m，n}为投掷两枚骰子向上的点数分别为m，n，
则投掷两枚骰子的所有可能结果为{1,1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,3}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,4}，{4,5}，{4,6}，{5,5}，{5,6}，{6,6}，共计21种．
其中，“向上的点数之和是5”的有{1,4}和{2,3}，共2种．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．已知函数f(x)＝ax2－bx－1，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{2,4,6,8}，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对(a，b)．
(1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)”，求事件A的概率；课时跟踪检测 （四十一） 古典概型
层级(一) “四基”落实练
1．下列试验是古典概型的是 ( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C 根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个样本点不是等可能的，B项中样本点的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．
2．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选D 从7个整数中随机取2个不同的数，共有C＝21(种)取法，取得的2个数互质的情况有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为＝.故选D.
3．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为＝，故选B.
4．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面、二枚反面的概率等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C 试验的样本空间Ω＝ {(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，共8种，出现一枚正面、二枚反面的样本点有3种，故概率为P＝.
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37.在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是 ( )
A. B.
C. D.
解析：选A 根据题意，不超过11的素数有2,3,5,7,11，共5个，
从中任选2个，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10种取法．
其中，和小于等于10的取法有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，共5种，
则取出的两个数和小于等于10的概率P＝＝.
6．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
解析：用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名学生中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含的样本点的个数为3，故所求的概率为＝.
答案：
7.如图，在四棱锥D OABC中，底面OABC为正方形，OD⊥底面OABC，以O为起点，再从A，B，C，D四个点中任取两点分别为终点，得到两个向量，记这两个向量的数量积为M，则事件“M＝0”的概率为________．
解析：记事件A＝“这两个向量的数量积M＝0”，样本点总数n(Ω)＝6，
其中，事件A＝{·，·，·，·}，n(A)＝4，∴P(A)＝＝.
答案：
8．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．
解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则从6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，所以检测出不合格产品的概率为＝.
9．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6，记骰子的点数分别为x，y，向量a＝(x－1,1)，b＝(10－2y,2)，求两向量平行的概率．
解：记事件A＝“两向量平行”， n(Ω)＝6×6＝36，
∵a∥b，∴10－2y－2(x－1)＝0，解得x＋y＝6，
∴A＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}，n(A)＝5，
∴两向量平行的概率是P＝.
3．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为________．
解析：现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，样本点总数n＝10，
这三个数为勾股数包含的样本点有：(3,4,5)，共1个，
∴这三个数为勾股数的概率为P＝.
答案：
4．从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
重量/克 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
频数/个 5 10 20 15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率．
(2)用分层随机抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为＝0.4.
(2)重量在[80,85)的有4×＝1个．
(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种. “任取2个苹果，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个”记为事件A，则事件A包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，故P(A)＝＝.
层级(三) 素养培优练
1．(多选)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．
若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是 ( )
A．应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人
B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C．第5组志愿者被抽中的概率为
D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
解析：选ABC 第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10.因为第3,4,5组共有60名志愿者，利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，抽样比为，所以应从第3,4,5组中分别抽取3人、2人、1人．故A正确．
记第3组的3名志愿者分别为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者分别为B1，B2，第5组的1名志愿者为C，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)}，共有15个样本点．
第4组的2名志愿者恰有一人被抽中，所含的样本点个数为8，所以第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为，故B正确．
第5组的志愿者恰好被抽中，所含的样本点个数为5，所以第5组志愿者被抽中的概率为＝，故C正确．
第3组志愿者至少有一人被抽中，所含的样本点个数为12，所以第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为＝，故D不正确．综上，应选A，B，C.
2．甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏的奖金，两人商定：一局中掷出正面向上则甲胜，否则乙胜，谁先胜三局就得所有奖金．比赛开始后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时因为意外事件必须中断游戏，请问怎样分配这400元才合理？
解：为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．
其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.
因此，合理的分法为甲得300元，乙得100元．
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