(共23张PPT)
10．1.2 事件的关系和运算
明确目标 发展素养
了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习，培养数学抽象、数学运算素养.
一定发生
相等
A＝B
2．并事件(和事件)：
至少有一个
A∪B
A＋B
[微思考] 事件A与事件B的和事件包含几种情况？
提示：包含三种情况：(1)事件A发生，事件B不发生；(2)事件A不发生，事件B发生；(3)事件A发生，事件B发生．即事件A与B至少有一个发生．
3．交事件(积事件)：
同时
A∩B(
AB
4．互斥(互不相容)：
不能同时发生
A∩B＝
A∩B
A∩B＝
5．互为对立：
A∩B＝
A∩B＝
A∪B＝Ω
[微思考] 互斥事件与对立事件有什么关系？
提示：对立事件是特殊的互斥事件．若事件A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立．即“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．
√
×
×
答案：C
3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则 ( )
A．A B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上的点数是1或2或3
答案：C
解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．易知其余都不是对立事件．故选C.
答案:C
2．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是 ( )
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有红球也有白球
D．取出的3个球中不止一个红球
解析：从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球．故选D.
答案:D
题型二 事件关系的运算
[探究发现]
“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件” “事件A与事件B互斥”“事件A与事件B对立”分别对应集合中的哪些关系或运算？
提示：“事件B包含事件A”对应集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A与集合B的并集；“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集；“事件A与事件B互斥”对应集合A与集合B的交集为空集；“事件A与事件B对立”对应集合A与集合B互为补集．
[解] (1)事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B互斥但不对立．(2)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(3)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
[方法技巧]
进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
【对点练清】
在投掷骰子的试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.课时跟踪检测 （四十） 事件的关系和运算
层级(一) “四基”落实练
1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为 ( )
A．“都是红球”与“至少1个红球”
B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”
C．“至少1个白球”与“至多1个红球”
D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”
解析：选D A、B、C中两个事件是包含与被包含关系，只有D，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为 ( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．给出以下三个命题：
(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；
(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；
(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．
其中真命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．
4．(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是( )
A．A＋B＝A B．A＋AB＝A
C. A D．A(A＋B)＝A
解析：选BD 若A＋B＝A，则B A，故A错误；∵AB A，∴A＋AB＝A，故B正确；∵当事件A，B都不发生时， 发生，∴ 不是A的子集，C错误；∵A (A＋B)，∴A(A＋B)＝A，D正确．故选B、D.
5.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
解析：选C 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C.
6．事件“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是_________________________________________________________________
________________________.
解析：事件“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至多 3个是黑球”．
答案：某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球
7．向上抛掷一枚骰子，设事件A＝“点数为2或4”，事件B＝“点数为2或6”，事件C＝“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是________．
解析：由题意可知C＝A∪B.
答案：C＝A∪B
8．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
解：(1)由于事件C “至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
层级(二) 能力提升练
1．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么 ( )
A．A∪B是必然事件 B．C∪D是必然事件
C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥
解析：选B 由于事件A与B互斥，即A∩B＝ ，则C∪D＝U(U为全集)是必然事件．
2．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等(不考虑黄灯)．事件A表示“第二个路口是红灯”，事件B表示“第三个路口是红灯”，事件C表示“至少遇到两个绿灯”，则A∩B包含的样本点有________个，事件A∩B与C的关系是________．
解析：根据题意，画出如图所示的树状图．
由图可得，A∩B＝{红红红，绿红红}，包含2个样本点，C＝{红绿绿，绿红绿，绿绿红，绿绿绿}，(A∩B)∩C＝ ，故事件A∩B与C互斥，又(A∩B)∪C≠Ω，故事件A∩B与C的关系是互斥但不对立．
答案：2 互斥但不对立
3．从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生．记：C1＝“选出1号同学”，C2＝“选出2号同学”，C3＝“选出3号同学”，C4＝“选出4号同学”，C5＝“选出5号同学”，C6＝“选出6号同学”，D1＝“选出的同学学号不大于1”，D2＝“选出的同学学号大于4”，D3＝“选出的同学学号小于6”，E＝“选出的同学学号小于7”，F＝“选出的同学学号大于6”，G＝“选出的同学学号为偶数”，H＝“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题：
(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？
(3)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？
(4)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？
解：(1)必然事件有：E；
随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1 ，D2，D3，G，H；
不可能事件有：F.
(2)如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生．
(3)D2和D3同时发生时，即为C5发生了．D2∩D3＝C5.
(4)能，如：C1和C2；C3和C4等等．
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
解：设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)(x∈{1,2,3}，y∈{4,5})表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}．
(1)设A＝“恰有1名男生”，B＝“恰有2名男生”，
则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，
B＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，
因为A∩B＝ ，所以A与B互斥且不对立．
(2)设C＝“至少有1名男生”，D＝“全是男生”，
则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，D＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．
因为C∩D＝D，所以D C.即C与D不互斥．
(3)设E＝“至少有1名男生”，F＝“全是女生”，
则E＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，F＝{(4,5)}．
因为E∪F＝Ω，E∩F＝ ，所以E和F互为对立事件．
(4)设G＝“至少有1名男生”，H＝“至少有1名女生”，
则G＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，
因为G∩H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，所以G与H不互斥．
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