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第六章 | 平面向量及其应用
6．1 平面向量的概念
明确目标 发展素养
1.了解平面向量的实际背景．
2.了解平面向量的意义．
3.理解平面向量共线和向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素. 1.在学习平面向量概念的过程中，提升数学抽象、直观想象素养．
2.通过对平面向量共线与相等的学习，增强逻辑推理和数学运算素养.
知识点一 向量的实际背景与概念
(一)教材梳理填空
1．向量与数量：
(1)数量：只有大小没有_____的量称为数量．数量只是一个代数量，可正，可负，可为零．
(2)向量：既有_____又有_____的量叫做向量．向量既有大小又有方向，因为方向无大小之分，所以向量不能比较大小．
[微思考] 物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？
提示：位移、速度、力等是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小没有方向．
方向
大小
方向
方向
AB
起点
方向
长度
3．向量的表示方法：
有向线段
4．向量的相关概念：
0
1个单位长度
0
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量的模是正实数． ( )
(2)单位向量的模相等． ( )
(3)有向线段就是向量． ( )
2．有下列物理量：①质量；②角度；③弹力；④风速．其中可以看成是向量的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
×
√
×
答案：ABC
知识点二 相等向量与共线向量
(一)教材梳理填空
1．平行向量(共线向量)：
方向___________的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a和b平行，记作_______.规定：零向量与任意向量_____，即对于任意向量a，都有______.
2．相等向量：
长度_____且方向_____的向量叫做相等向量．用有向线段表示的向量a和b相等，记作______.
相同或相反
a∥b
0∥a
相等
相同
平行
a＝b
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)相等向量一定是共线向量． ( )
(2)若向量a＝b，则|a|＝|b|. ( )
2.如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
√
√
题型一 向量的有关概念
【学透用活】
[典例1] (多选)下列说法正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B．若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b
C．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上
D．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反
[解析] A不正确，由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系；B正确，因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b；C正确，单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一个点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上；D不正确，因为向量a与向量b中若有一个是零向量，则其方向不确定．
[答案] BC
[方法技巧]
解决与向量概念有关问题的关键
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度．如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是1个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
【对点练清】
下列说法中正确的个数为 ( )
①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任意单位向量平行；③因为平行向量也叫做共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤向量的大小与方向有关；⑥向量的模可以比较大小．
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0；②正确；③错误，平行向量所在的直线可能不共线；④错误，平行向量的平行关系不具有传递性；⑤错误，向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关；⑥正确，向量的模是一个数量，可以比较大小．
答案:A
题型二 向量的表示及应用
【学透用活】
在画图时，向量是用有向线段来表示的，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，应该注意的是向量常用有向线段来表示，并不能说向量就是有向线段.
[方法技巧]
用有向线段表示向量的步骤
【对点练清】
在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
[方法技巧]
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线的向量．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量． 课时跟踪检测 （一） 平面向量的概念
层级(一) “四基”落实练
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是 ( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：选C 速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较
2.(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是 ( )
A．＝
B．∥
C．||＝||
D． ＝
解析：选ABC 由题图可知，||＝||，但，的方向不同，故≠，D不正确，其余均正确，故选A，B，C.
3．下列说法正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a∥b
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
解析：选B 当|a|＝|b|时，由于a，b方向是任意的，a∥b未必成立，所以A错误；因为零向量的长度是0，所以B正确；因为长度相等的向量方向不一定相同，所以C错误；因为共线向量不一定在同一条直线上，所以D错误．故选B.
4．如图所示，C，D是线段AB的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量共有 ( )
A．3个 B．6个
C．8个 D．12个
解析：选B 1个单位长度的向量有，，，，， 6个；2个单位长度的向量有，， 4个；3个单位长度的向量有， 2个．因此，共6＋4＋2＝12个，但其中＝＝，＝＝，＝，＝因此互不相等的向量最多只有6个．
5．(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 ( )
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
解析：选ACD 因为a与b为相等向量，所以a∥b，即A能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即B不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即C能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是A、C、D.
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．
又∵m与，都共线，∴m＝0.
答案：0
8.如图所示，四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
解：(1)依据图形可知，，，与方向相同， ，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，.
(2)由四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
层级(二) 能力提升练
1.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中( )
A．向量，的模相等
B．||＝
C．向量，共线
D．||＋||＝10
解析：选BC 因为||＝＝，||＝＝2，所以||≠||，所以A错误；因为||＝＝，所以B正确；因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线，所以C正确；因为||＋||＝＋＝5≠10，所以D错误．故选B，C.
2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)．若所有向量的起点 和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个．
解析：与平行且长度为的线段即为小正方形中与线段AB平行的对角线，共有12条这样的对角线，且每条对角线都对应2条方向相反的向量，则满足条件的向量有24个．
答案：24
3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个．
解析：如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个．
答案：11
4.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且||＝2，||＝5，求||.
解：如图，过D作DH∥AB，分别交EF，BC于点G，H.
∵E，F分别为腰AB，DC的三等分点，
∴EF∥AD∥BC.∴G为DH的三等分点．
∴∥，且||＝||.∵||＝2，
∴||＝||＝2.又∵||＝5，∴||＝3，
∴||＝1.∴||＝||＋||＝2＋1＝3.
层级(三) 素养培优练
如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图可知，①当点C位于点C1或C2时，|| 取得最小值 ＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝，∴| |的最大值为，最小值为.
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