课时跟踪检测 （十七） 复数的乘、除运算
层级(一) “四基”落实练
1．(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选C 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
2．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝( )
A．10i B．2i
C．10 D．2
解析：选A 因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i(＋z)＝10i，故选A.
3．复数(i为虚数单位)的共轭复数是 ( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选B ∵＝＝＝1＋i，
∴其共轭复数为1－i.
4．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝ ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B 因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.
5．若复数z满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵(2＋i)z＝|3－4i|＝＝5，∴z＝＝＝2－i，z在复平面内对应的点为(2，－1)，在第四象限，故选D.
6．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，
因为实部为0，所以a－2＝0，即a＝2.
答案：2
7．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.
解析：∵z＝＝＝＝－i，
∴|z|＝＝.
答案：
8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝＝，
根据已知条件可知3a－8＝0，解得a＝.
答案：
9．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有
解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级(二) 能力提升练
1．(多选)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是 ( )
A．复数z＝的虚部为
B．复数z＝的共轭复数＝－5－2i
C．复数z＝－i在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数z满足∈R，则z∈R
解析：选ABD 对于A，z＝＝＝－＋i，其虚部为，故A正确；对于B，z＝＝(2＋5i)i＝－5＋2i，故＝－5－2i，故B正确；对于C，z＝－i，在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限，故C不正确；对于D，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝，又∈R，得b＝0，所以z＝a∈R，故D正确．
2．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得∴m＝4i.
答案：4i
3．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝______，c＝______.
解析：∵实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，
∴其共轭复数1－i也是方程的根．
由根与系数的关系知
∴b＝－2，c＝3.
答案：－2 3
4．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值．
解：∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.
由复数相等得解得∴p＋q＝38.
5．已知复数z＝1＋i.
(1)设ω＝z2＋3－4，求ω；
(2)若＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)因为z＝1＋i，
所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)因为z＝1＋i，
所以＝＝1－i，
即＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，
所以解得
层级(三) 素养培优练
1．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(eiπ－z)·i＝1＋i，则|z|＝ ( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选A 由欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ有：eiπ＝cos π＋isin π＝－1.由(eiπ－z)·i＝1＋i，即(－1－z)·i＝1＋i.所以－1－z＝＝1－i，即z＝－2＋i，所以|z|＝＝.
2．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是 ( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
解析：选BC 由复数的形式知选项A显然不正确；当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故选项B正确；当2＝z3时，则z2＝3，|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(1 2)－(z1z3)(1 3)＝z1z212－z1z3·13＝0，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2＝|z1|2＝z11 z1z2－z11＝z1(z2－1)＝0，又z1≠0，所以1＝z2，故选项D不正确．
3．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限．若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
因为复数0，z，对应的点构成正三角形，
所以|z－|＝|z|，
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又因为z对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.
由①②得故所求值为a＝－，b＝－1.
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7．2.2 复数的乘、除运算
明确目标 发展素养
1.掌握复数代数形式的乘、除运算法则，能够进行复数的乘、除运算．
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 1.通过对复数的乘、除运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．
2.通过对i的乘方周期性的理解，提升逻辑推理素养.
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2z1
z1z2＋z1z3
[微思考] 已知z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝z2正确吗？
提示：不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
(二)基本知能小试
1． (1＋i)(2＋i)＝ ( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
答案：B
答案：D
提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘分母的“实数化因式”(共轭复数)．
答案：A
答案：D
3．已知复数z满足(1＋3i)z＝10，则z＝________.
答案：1－3i
[典例1] (1)(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)·(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析] (1)∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
[方法技巧]
两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
