(共27张PPT)
7．1.2 复数的几何意义
明确目标 发展素养
1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系．
2.理解共轭复数的概念，并会求共轭复数．
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题. 1.通过学面及复数的几何意义，提升直观想象、逻辑推理素养．
2.通过研究复数模与向量模的关系， 增强直观想象素养.
知识点一 复平面与复数的几何意义
(一)教材梳理填空
1．复平面：
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_______，x轴叫做_______ ，y轴叫做_____实轴上的点都表示______ ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复平面
实轴
虚轴
实数
2. 复数的几何意义：
(二)基本知能小试
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
答案：A
答案：C
模
|z|
|a＋bi|
|a|
实部
相反数
共轭虚数
a－bi
答案：C
答案：－1 1
题型一 复数与复平面内点的关系
【对点练清】
1．[变设问]若本例中条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
解：因为点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
解得a＝5.故a＝5时，点Z在x轴上．
2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
题型二 复数与复平面内向量的关系
【学透用活】
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[答案] (1)C (2)D
答案：5
答案: C
答案: D
答案:D 课时跟踪检测 （ 十五 ） 复数的几何意义
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中不正确的是 ( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z在复平面内对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
解析：选ABD 2m2＋2m－1＝2m＋2－，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方．A、B、D均不正确．
2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 ( )
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：选B |z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．故选B.
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为8＋3i，与关于x轴对称，则点B对应的复数为 ( )
A．8－3i B．－8－3i
C．3＋8i D．－8＋3i
解析：选A 关于x轴对称的复数是共轭复数，其实部相同，虚部互为相反数．
4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为 ( )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
解析：选D 由已知可得＝(2,3)，＝(－3，－2)，所以＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以对应的复数为5＋5i.故选D.
5．(多选)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则以下说法正确的是( )
A．复数z的虚部为i
B．|z|＝
C．复数z的共轭复数＝1－i
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
解析：选BCD 因为复数z＝1＋i，所以其虚部为1，故A错误；|z|＝＝，故B正确；复数z的共轭复数＝1－i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确．故选B，C，D.
6．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝______，复数z的共轭复数＝________.
解析：∵＝，且a＞0，
∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i.
答案：1 1＋i
7．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z＝______.(写出一个即可)
解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以a<0，b>0.又因为|z|＝2，所以a2＋b2＝4.显然当a＝－1，b＝时，符合题意．
答案：－1＋i
8．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)位于上半平面(含实轴)．
解：(1)若点位于第四象限，则
∴∴－7(2)若点位于x轴负半轴上，则
∴∴m＝4.
(3)若点位于上半平面(含实轴)，
则m2＋3m－28≥0，解得m≥4或m≤－7.
层级(二) 能力提升练
1．已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z＝ ( )
A．1＋i B．2
C．(－1，) D．－1＋i
解析：选D 设复数z对应的点为(x，y)，
则x＝|z|·cos 120°＝2×－＝－1，
y＝|z|·sin 120°＝2×＝，
所以复数z对应的点为(－1，)，所以z＝－1＋i.
2．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x 上，则实数m的值为________．
解析：∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解得m＝9.
答案：9
3．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝__________，复数z2在复平面内对应的点在第________象限．
解析：设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，解得或所以z2＝5＋4i或＋i，显然复数z2对应的点在第一象限．
答案：5＋4i或＋i 一
4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离．
解：因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，所以＝(－3，－1)，＝(5,1)，
所以＋＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，
所以向量＋对应的复数是2.
又＝－＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，
所以对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离
||＝＝2.
5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模：z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，
Z2－，，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，
则向量
，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．
各复数的模分别为：
|z1|＝＝；
|z2|＝ ＝1；
|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.
层级(三) 素养培优练
设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为.
(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||；
(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．
解：(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，
则有log2(m2－3m－3)＝0，
所以m2－3m－3＝1，所以m＝4或m＝－1.
因为所以m＝4，
此时z＝i，＝(0,1)，||＝1.
(2)因为的终点Z在第二象限内，则有所以m∈
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