课时跟踪检测（十六）复数的加、减运算及其几何意义
层级(一) “四基”落实练
1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象
限．
2.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
解析：选A 由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A.
3．在复平面内，O是坐标原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为 ( )
A．2＋8i B．4－4i C．6－6i D．－4＋2i
解析：选B ＝－＝－(＋)＝4－4i.
4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于 ( )
A．1 B． C．2 D．2
解析：选D 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.故选D.
5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
解析：选A 因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.
答案：5
7．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________.
解析：由已知得，x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，
∴解得
答案：6 11
8．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)
＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.
(2)原式＝(－1＋i)＋ ＋(1＋i)
＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.
层级(二) 能力提升练
1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，
∴a＝－1.故选D.
2．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且四边形ABCD为平行四边形，则z＝________.
解析：由题意知＝，所以2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，所以z＝3－6i.
答案：3－6i
3．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.
解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得故a－b＝－4.
答案：－4
4．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
解：∵＝－，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
5．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离．
又因为点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
层级(三) 素养培优练
1．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△OAB一定是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，因此·＝0，所以⊥，即△OAB一定是直角三角形．
2．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)
＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，
代入y＝x，得－2sin2θ＝－，
即sin2θ＝，∴sin θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝，∴θ＝或.
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7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
明确目标 发展素养
1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则．
2.理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 1.通过学习复数代数形式的加、减运算，提升逻辑推理、数学运算素养．
2.通过对复数加、减法运算几何意义的理解，强化直观想象素养.
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)两个虚数的和或差可能是实数． ( )
(2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( )
(3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立． ( )
2．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为 ( )
A．1 B．－i C．5＋2i D．1－i
答案：A
3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝ ( )
A．0 B．6i C．6 D． 6－6i
答案：D
√
√
×
知识点二 复数加、减法运算的几何意义
(一)教材梳理填空
终点
终点
答案：1－i
答案：5
[典例1] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
[方法技巧]
复数代数形式的加、减法运算技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
答案:D
答案：3
答案：－4＋3i
题型三 复数加、减运算几何意义的应用
[方法技巧]
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B(O，A，B不共线)，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
答案:C
2．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
