课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例
层级(一) “四基”落实练
1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站
南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 ( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D 由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是 ( )
A．20 m， m B．10 m, 2 0 m
C．10(－)m, 20 m D. m， m
解析：选A 由题意，知h甲＝20tan 60°＝20(m)，
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．
3．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )
A．15 km B．30 km
C．45 km D．60 km
解析：选B 如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠ CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，
∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30 (km)．
4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为 ( )
A. n mile/h B．34 n mile/h
C. n mile/h D．34 n mile/h
解析：选A 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，
∴v＝＝(n mile/h)．故选A.
5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD
为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选B 依题意可得AD＝20(m)，
AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝.
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
6．某人朝正东方向走x m后，向右转150°，然后朝新方向走3 m，结果他离出发点恰好为 m，那么x的值为_______．
解析：如图，在△ABC中，AB＝x，B＝30°，BC＝3，AC＝，由余
弦定理得()2＝x2＋32－2×3×x×cos 30°，
∴x2－3x＋6＝0，∴x＝或2.
答案：2或
7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直
线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，
45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时
14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)
解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100 m，
由余弦定理可得BC＝
≈316.2(m)，
这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)．
答案：22.6
8.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从 A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.
解：根据图示，AC＝100 m．在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝，解得AM＝100 m．在△AMN中，＝sin 60°，所以MN＝100×＝150(m)．
层级(二) 能力提升练
1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：
①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为 ( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A.
2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
解析：如图，设竹竿的影子长为x.
依据正弦定理可得＝.
所以x＝·sin(120°－α)．
因为0°<120°－α<120°，
所以要使x最大，只需120°－α＝90°，
即α＝30°时，影子最长．
答案：30°
3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为______小时．
解析：如图，设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米， AP＝x.在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，化简得x2－40x＋700＝0，
|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，
故t＝＝＝1(小时)．
答案：1
4.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚s．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A，C两地的距离；
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.
(声音的传播速度为340 m/s)
解：(1)由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m.在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝BA2＋AC2－2BA·ACcos∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
所以A，C两地间的距离为420 m.
(2)在Rt△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°，
所以CH＝ACtan∠CAH＝140 m.
所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
层级(三) 素养培优练
如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732)．
解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，
则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4.
由正弦定理得＝，
解得BC＝4(m)．即BC的长为4 m.
(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4，
所以DC＝4sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，则DC＝2＋2.
所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共19张PPT)
6．4.3 第三课时 余弦定理、正弦定理应用举例
顺时针
小于90°
水平视线
目标视线
仰角
俯角
视角
√
√
×
×
答案：D
答案：60° 210°
答案：60
题型二 测量高度问题
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
北
B
2
北
30
西
+东
60
南
①
2
目标视线
铅垂线
仰角
俯角
水平视线
目标视线
北
60°
西
东
30
南
①
2
B
w
I
I
60°
60i
45
30
D
C
967
46m
B
D
120
45
B
45
A
A 60 B
120
120
200
150
M
H
北
C
B
B
a
A
东
B
A145
C
D
北
D
不
C
B
A
