(共24张PPT)
6．4 平面向量的应用
6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
明确目标 发展素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，提升运算能力及解决问题的能力. 通过运用向量方法解决平面几何问题和力学等实际问题，培养直观想象、数学运算和数学建模素养.
平面几何问题
向量运算
×
×
√
答案：B
答案：C
知识点二 向量在物理中的应用
(一)教材梳理填空
1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
2．向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
3．动量mv是向量的数乘运算．
4．功是力F与所产生的位移s的_______．
数量积
答案：D
答案：A
答案：D
题型三 平面向量在物理中的应用
[方法技巧]
用向量方法解决物理问题的四个步骤
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D
C
F
A
E
B
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D
C
F
A
E
B
父
A
E
F
OH
B
D
C
问题转化
把理问题转化为数学问题
建立模型
建立以向量为载体的数学模型
求解参数
求向量的模、夹角、数量积等
回答问题
把所得的数学结论回归到物理问题中课时跟踪检测 （十） 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
层级(一) “四基”落实练
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为 ( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.
2．在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 因为·＋2＝0，所以·(＋)＝0，
所以·＝0，所以⊥，
所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形．
3.如图所示，力F作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与
水平面成30°角，当小车向前运动10 m时，力F做的功为 ( )
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
解析：选C 设小车的位移为s，则|s|＝10 m，
W＝F·s＝|F||s|·cos 30°＝10×10×＝50(J)．
4．若O是△ABC所在平面上一点，满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O ( )
A．在过点C且与AB垂直的直线上
B．在角A的平分线所在的直线上
C．在边AB的中线所在的直线上
D．以上都不对
解析：选A 设＝a，＝b，＝c，
则＝－ ＝c－b，＝－＝a－c.
又||2＋||2＝||2＋||2，
∴|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，
化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，
∴⊥，即AB⊥OC，故选A.
5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于 ( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形面积的2倍
D．以b，c为两边的三角形面积
解析：选AC 设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c||cos α|＝| b||a||cos(90°±θ)|＝|b||a|sin θ，故选A，C.
6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________．
解析：设所用时间长短为t，则＝tv，
即(3,6)＝t(1,2)，所以t＝3.
答案：3
7．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
解析：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos∠DOE＝＝.
答案：
8．已知在静水中船速为5 m/s，且知船速大于水速，河宽为20 m，船从A点垂直到达对岸的B点用的时间为5 s，试用向量法求水流的速度大小．
解：如图，设水流的速度为v水，船在静水中的速度为v0，船的实际
行驶速度为v，
则|v0|＝5，|v|＝＝4.
∵v⊥v水，∴|v水|＝＝3，
即水流的速度为3 m/s.
层级(二) 能力提升练
1．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的 ( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：选C 由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．如图，D为BC的中点，因为＋＋＝0，所以＋＝－.由向量加法的平行四边形法则，知||＝2|ND―→|，故点N为△ABC的重心．因为·＝·，所以(－)·＝·＝0.同理·＝0，·＝0，所以点P为△ABC的垂心．
2．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________.
解析：建立如图的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)．设AD＝a，
则C(1, a)，＝(1, a)，＝(－1, a)．
因为AC⊥BC，所以⊥. 所以·＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)．
答案：1
3．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________．
解析：因为(＋－2)·(－)＝[(－)＋(－)]·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝0，所以||＝||，所以△ABC是等腰三角形．
答案：等腰三角形
4．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．利用向量方法证明：AC⊥BD.
证明：因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
所以⊥，即AC⊥BD.
5．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝
50×20×＝500(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1
的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.
层级(三) 素养培优练
1.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°取0.6)，高为2 m的斜面上，质量为
5 kg 的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5 倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_________J，重力所做的功为_________J(g取9.8 m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0 98
2.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC
上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解：(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
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