课时跟踪检测 （十一） 余弦定理
层级(一) “四基”落实练
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C ∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°，故选C.
2．在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝ ( )
A．4 B．
C. D．2
解析：选A 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC ( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
解析：选C 由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
4．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝(2＋)bc，则角A等于 ( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝(2＋)bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，
∴A＝30°.
5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
解析：选AD 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
答案：0
7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是______．
解析：设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．
答案：120°
8．(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c；
(2)在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
解：(1)∵sin C＝，且0当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，
∴c＝2.当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，∴c＝2.综上所述，c的值为2或2.
(2)由余弦定理知cos A＝，
cos B＝，cos C＝，代入已知条件，得
a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
层级(二) 能力提升练
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为 ( )
A．7.5 B．7
C．6 D．5
解析：选D ∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
2．(多选)在△ABC中，已知AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，D为AC的中点，E为BC的中点，AE与BD相交于点M，下列结论正确的是( )
A．BC＝4 B．ME＝
C．BD＝2 D．cos∠DBC＝
解析：选ABD 对于A，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos120°＝48，所以BC＝4，故A正确；对于B，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，E为BC的中点，所以AE⊥BC，∠BAE＝60°，所以AE＝ABcos60°＝2，易知M是△ABC的重心，所以ME＝AE＝，故B正确；
对于C，在△ABD中，由余弦定理，
得BD＝＝＝2，故C错误；
对于D，在△DBC中，由余弦定理，得cos∠DBC＝＝＝，故D正确．
3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是_______．
解析：cos B＝＝＝＋≥.∵0答案：
4．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值．
解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)因为cos A＝＝，
所以sin A＝＝.
在△ABC中，B＋C＝π－A，
所以sin(B＋C)＝sin A＝.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．
解：(1)由余弦定理，得cos B＝，
cos C＝，
∴原式化为·＝－，
整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，
∴cos B＝＝＝－.
又0(2)将b＝，a＋c＝4，B＝，
代入b2＝a2＋c2－2accos B，得
13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)cos，
即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.
层级(三) 素养培优练
1．若钝角△ABC的内角A，B，C满足A＋C＝2B，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)
解析：选B 设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，
因为A＋C＝2B，则A＋B＋C＝3B＝180°，故可得B＝60°.
根据余弦定理得cos B＝＝，于是b2＝a2＋c2－ac，
因为△ABC为钝角三角形，故a2＋b2－c2<0，于是2a2－ac<0，即>2.
则m＝>2，即m∈(2，＋∞)．
2．已知△ABC中，2·(－)＝·(－)，则tan C的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为2·(－)＝·(－)，所以2·－2·＝·－·，即2bccos A－2abcos C＝abcos C－accos B.
所以2bccos A－3abcos C＋accos B＝0.由余弦定理得
b2＋c2－a2－＋＝0，
即2a2＋b2＝3c2.
所以cos C＝＝＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即a＝b时取等号．
显然C为锐角，要使tan C取最大值，则cos C取最小值，此时sin C＝＝，
所以tan C＝＝＝，即tan C的最大值是.
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6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标 发展素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．
2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养．
2.通过对余弦定理、正弦定理的应用举例的学习，提升数学建模、直观想象素养.
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理
(一)教材梳理填空
1．余弦定理：
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
其他两边平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_____．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_________．
元素
解三角形
√
√
×
答案：C
题型一 已知两边及一角解三角形
【学透用活】
1．已知边a，b和角C.
2．已知边a，b和角A.
[深化探究]
给定两边及一角的三角形是唯一确定的吗？
提示：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的；两边及其一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，这说明给定两边及其一边的对角的三角形有可能是不唯一的．
[方法技巧]
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
答案：D
[方法技巧]
已知三角形的三边求角的基本步骤
答案:D
