课时跟踪检测（十二）正弦定理
层级(一) “四基”落实练
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是 ( )
A. B. C. D.
解析：选A 根据正弦定理得＝＝.故选A.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
3．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B＝ ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：选BC 由正弦定理可知＝，
∴sin B＝＝＝，
∵0°＜B＜180°，b>a，∴B＝60°或120°.
4．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为 ( )
A．1 B．2 C.－1 D.
解析：选B 由正弦定理＝，可得＝，
∴sin B＝，由a>b，得A>B，∴B∈，
∴B＝.故C＝，由勾股定理得c＝2.
5．若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
解析：选C 由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C.
6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2.
答案：2
7．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．
解析：在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1. 又B为三角形的内角，∴B＝，
∴c＝＝ ＝2，
∴S△ABC＝×2×2＝2.
答案： 2
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
解：由正弦定理可得sin A＋sin C＝sin B，又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cos C＋sin C＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝cos 2C，
即cos C＋sin C＝cos 2C，cos(45°－C)＝cos 2C.
因为0°层级(二) 能力提升练
1．(多选)在△ABC中，已知b＝－1，c＝，B＝15°，则边长a＝ ( )
A．2 B．＋1 C．3 D．2
解析：选AB 由正弦定理可得，sin C＝＝＝，在△ABC中，∵c>b，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝105°，∴a＝＝＝＋1；当C＝120°时，A＝45°，∴a＝＝＝2.综上，可得a＝＋1或2.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案： 3
3．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于点D，则AD＝________.
解析：由余弦定理得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2ACsin 60°＝×2ADsin 30°＋AC×ADsin 30°，所以AD＝＝＝2.
答案：2
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解：(1)根据正弦定理及2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C，
得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B．∵sin B≠0，∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)根据余弦定理得7＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.∵b＋c＝4，∴bc＝3.
5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解：(1)因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝3cos Asin C，
所以sin A＝3cos A．由sin2A＋cos2A＝1，
得sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，所以cos A＝，
所以sin B＝sin＝(cos A＋sin A)＝×＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC×sin A＝2×＝6.
层级(三) 素养培优练
1.八卦田最早出现于明代记载，如图中正八边形代表八卦，中间的圆 代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积．现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为________m2.
解析：由题图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为＝45°，设等腰三角形的腰长为a，由正弦定理可得＝，解得a＝8sin，所以等腰三角形的面积S＝2sin 45°＝32·＝16(＋1)(m2)，则每块八卦田的面积为16(＋1)－×π×22＝16＋16－(m2)．
答案：16＋16－
2．现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC，并以此为依据，求△ABC的面积．
在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，________，________，且满足(2b－c)cos A＝acos C，求△ABC的面积．
解：方案一，选①②.因为(2b－c)cos A＝acos C，
所以由正弦定理可得，
2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B，
因为sin B≠0，所以cos A＝，A＝.因为a＝2，B＝，
所以由正弦定理可得，＝，所以b＝2，
又C＝π－A－B＝，所以S△ABC＝absin C＝×2×2×sin＝2×＝1＋.
方案二，选①③.因为(2b－c)cos A＝acos C，
所以由正弦定理可得，
2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B，
因为sin B≠0，所以cos A＝，A＝.又a＝2，c＝b，
所以由余弦定理可得，＝＝，
解得b＝2，c＝2，
故S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.
附注，不能选②③.因为(2b－c)cos A＝acos C，
所以由正弦定理可得，2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，A＝.因为B＝，c＝b，所以C＝π－A－B＝，此时≠，不符合题意．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
6．4.3 第二课时 正弦定理
知识点 正弦定理
(一)教材梳理填空
1．正弦定理的表示：
正弦
×
×
√
√
[答案] (1)A (2)4
答案：2
图形 关系式 个数
A为锐角 ①a＝bsin A；
②a≥b 两解
bsin A＜a＜b 两解
a＜bsin A 无解
[深化探究]
(2)已知角A及a，b时，你能写出△ABC解的情况吗？
提示：三角形解的个数的判断方法如下：
[方法技巧]
已知两边及一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论．
[方法技巧]
利用正、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
答案：B
