(共26张PPT)
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
明确目标 发展素养
1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算．
2.能用坐标表示平面向量共线的条件. 通过对向量数乘运算坐标表示的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
提示：不能，因为当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
答案：A
√
√
√
答案：C
答案：－4
[方法技巧]
向量数乘坐标运算的三个关注点
(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用；
(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题；
(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．
答案：A
答案：ABC
[方法技巧]
求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．
答案：C
21世织纪教痘
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D
C
F
P
A(O)E
B
父课时跟踪检测 （八） 平面向量数乘运算的坐标表示
层级(一) “四基”落实练
1．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是 ( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
解析：选D 法一：∵a＋2b＝(，－3)，
∴×－(－1)×(－3)＝0.
∴(－1，)与a＋2b是共线向量．故选D.
法二：∵a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，∴向量a＋2b与(－1，)是共线向量．故选D.
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于 ( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选C 由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，
∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－，故选C.
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么 ( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D 由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，所以(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，所以k－λ＝0且λ＋1＝0，所以k＝－1，此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d.
4．已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则2sin αcos α等于 ( )
A．3 B．－3
C．－ D.
解析：选C 因为a∥b，所以cos α＋2sin α＝0，所以tan α＝－，则2sin αcos α＝＝＝＝－.
5．(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，不正确的是 ( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
解析：选ABC 由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A中叙述错误；
a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a，得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B中叙述错误；ma＋b＝(mx－3，3m＋x)，由(ma＋b)∥a，得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，故C中叙述错误；由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D中叙述正确．
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
解析：a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，
∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
答案：5
8.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，M， N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解：由已知可得M(2.5,2.5)，N(1.5,0.5)，所以＝(2.5,2.5)，＝(－2.5，－2.5)．又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以，共线．
层级(二) 能力提升练
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ ( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选B 由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝.故选B.
2．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－(y－2)，解得y＝10.
答案：10
3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
解析：由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．
设C(x，y)，则＝(x，y)．
∵＝λ＋μ，∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
∴又∵∠AOC＝，OC＝2，
∴λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，∴λ＋μ＝＋1.
答案：＋1
4．已知四点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量，共线；
(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？
解：(1)＝(x,1)，＝(4，x)．因为，共线，
所以x2－4＝0，解得x＝±2.
则当x＝±2时，两向量，共线．
(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，
＝－3，则∥，此时A，B，C三点共线，
又∥，从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上．当x＝2时，＝(2,1)，＝(－2,1)，与不平行，故A，B，C，D四点不在同一直线上．
5．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t (t∈R)．
(1)t为何值时，P在x轴上？t为何值时，P在y轴上？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
解：(1)由题意得＝(1,2)，＝(3,3)，
则＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－.
(2)不能．理由如下：
由题意知＝(1,2)，＝－＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
∵无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．
层级(三) 素养培优练
1．设a＝，b＝，且a//b，则tan α＝_________.
解析：因为a∥b，所以×＝sin αcos α＝＝ tan α＝1.
答案：1
2．设a，b>0，若点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)共线，则a＋3b的最小值为________．
解析：由题意知，＝(a－2，－2)与＝(－2，b－2)共线，则(a－2)(b－2)＝4 b＝＋2(a>2)，∴a＋3b＝a＋＋6＝a－2＋＋8≥2＋8＝4＋8，当且仅当a－2＝，即a＝2＋2时，等号成立．
答案：4＋8
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(x，tx＋2)．若存在实数x，使得a与b的方向相同，则t的一个取值为________．
解析：∵a与b方向相同，∴b＝λa(λ>0)，
∴∴x＝λ＝.由>0得t<1.
∴存在实数t＝0，x＝2，使得a与b方向相同．
答案：0(答案不唯一，小于1的实数均可)
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