(共27张PPT)
6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
明确目标 发展素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积．
2.会表示两个向量的夹角．
3.能用坐标表示平面向量的条件垂直. 通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
x1x2＋y1y2
答案：D
×
×
×
答案：D
答案:B
答案：C
答案：C
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________．
【对点练清】
1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则 ( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
解析：因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)·(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
答案：D 课时跟踪检测 （九） 平面向量数量积的坐标表示
层级(一) “四基”落实练
1．在△ABC中，C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则实数k的值是 ( )
A．5 B．－5
C. D．－
解析：选A ＝－＝(2－k,2)．
∵C＝90°，∴⊥，∴2(2－k)＋6＝0，解得k＝5.
2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：选B ∵cos A＝＝＝0，∴A＝.故选B.
3．已知a＝(1,2)，b＝(－1，)，则a·b＋|b|＝ ( )
A．1 B．1＋
C．1＋2 D．2
解析：选C 因为a·b＝(1,2)·(－1，)＝－1＋2，|b|＝2，所以a·b＋|b|＝－1＋2＋2＝1＋2.
4．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则( )
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝－3是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
解析：选C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B，D错误．
5．(多选)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，a，b的夹角为θ，b方向上的单位向量为e.则 ( )
A．b＝(5,12) B．a·b＝16
C．cos θ＝ D．a在b上的投影向量为e
解析：选BCD ∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．
又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，
∴a·b＝－20＋36＝16.
又|a|＝5，|b|＝13，∴cos θ＝＝.
∴a在b上的投影向量为e＝e.
6．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.
解析：∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案：－
7.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D
被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为________．
解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.
答案：11
8．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．
解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．所以cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0.
层级(二) 能力提升练
1．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于 ( )
A．16 B．12
C．8 D．－4
解析：选A 以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0，6)，D(2,3)．
设E(0，t)，则·＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，
∴t＝，即E，∴·＝·(0,6)＝16.
2．设向量a＝(，－1)，b＝，k，t是两个不同时为零的实数．若向量x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，则函数k＝f(t)的最小值为 ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为a＝(，－1)，b＝，所以a·b＝0，且|a|＝2，|b|＝1.因为x⊥y，所以x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，所以－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)·b2＝0，所以－4k＋t2－3t＝0，
即k＝(t2－3t)＝2－，所以k≥－，
即函数k＝f(t)的最小值为－.
3．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.
解析：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)， P(1,1)，C(0,0)，则·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.
答案：4
4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)由题意知，＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
5．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，
可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，
整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
层级(三) 素养培优练
已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余
弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴得∴C点坐标为(0,5)．由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，∴·＝8＋8＝16>0，||＝2，||＝2.设与夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
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