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知识点 平面向量基本定理
(一)教材梳理填空
平面向量基本定理：
(1)定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的_____向量a，_____________实数λ1，λ2，使a＝____________.
(2)基底：
若e1，e2___________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内______向量的一 个基底．
不共线
所有
不共线
任一
有且只有一对
提示：不能去掉“不共线”，两个共线向量不能表示平面内的任一向量，不能作为基底．平面内任一向量都能用两个确定的不共线的e1，e2表示，且这样的表示是唯一的．
答案：D
×
×
√
答案：4e1＋3e2
答案：3
[答案] AC
[方法技巧]
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
答案：B
答案：B
答案：ABC
[方法技巧]
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量为基底．
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
答：斜面对于物体的摩擦力f的大小为mgsin θ N，方向与斜面平行向上．课时跟踪检测 （六） 平面向量基本定理
层级(一) “四基”落实练
1.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
解析：选A ＝＝(－)
＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
2．已知平行四边形ABCD，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝ ( )
A．0 B．1
C．－1 D．任意实数
解析：选B 因为，，共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.
3．如图，向量a－b等于 ( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C 不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，由平行四边形法则可知＝e1－3e2.
4．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m＋，则实数m 的值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋＝m＋，∴
解得
5．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则 ( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
解析：∵e1，e2不共线，∴
解得∴x＋y＝0.
答案：0
7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于 点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝_________.
解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a＋b－×＝a＋b－(a－b)
＝a＋b.
答案：a＋b
8.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点．若 ＝a，＝b，用a，b表示，，.
解：＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b.
层级(二) 能力提升练
1.如图所示，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3. 设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是 ( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：选A ∵＝－3，∴＝－2＝2.
∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.
2.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x ＋y，则＋的最小值为 ( )
A. B．2
C. D.
解析：选D 设＝m＋n，＝λ＋μ.
∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1.
∵＋＝x＋y，则x＋y＝2，
∴＋＝(x＋y)
＝≥
＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，
∴＋的最小值为.
3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
解析：如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
答案：1∶4
4．在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，， .
解：如图所示，∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2.
又∵＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－＝－＋＋＝e2.
5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)求证：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得
∴λ不存在，故a与b不共线，∴{a，b}可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴ ∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴ 故所求λ，μ的值分别为3和1.
层级(三) 素养培优练
(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则( )
A.＝－＋ B.＝＋
C.＝－＋ D.＝＋
解析：选ABC ∵AB∥CD，AB＝2DC，∴＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确．∵＝3，∴＝＝－＋.∴＝＋＝＋＝＋.又F为AE的中点，∴＝＝＋，B正确．∴＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确．∴＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误．故选A，B，C.
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