(共22张PPT)
6．2.3 向量的数乘运算
明确目标 发展素养
1.掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义．
2.理解两个平面向量共线的含义．
3.了解平面向量的线性运算性质及 其几何意义. 1.通过理解向量数乘定义及几何意义，提升数学抽象素养．
2.通过运用数乘运算律和共线向量定理及应用，增强逻辑推理、数学运算素养.
知识点一 向量的数乘运算
(一)教材梳理填空
1．向量的数乘运算：
向量
相同
相反
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
答案：C
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)λa的方向与a的方向一致． ( )
(2)若λa＝0，则a＝0. ( )
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b. ( )
×
×
×
2． 已知非零向量a，b满足a＝4b，则 ( )
A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
3．3(2a－4b)等于 ( )
A．5a＋7b B．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
答案：D
b＝λa
答案：C
答案：8
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa. ( )
(2)若b＝λa，则a与b共线． ( )
×
√
[方法技巧]
向量数乘运算的方法
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
[方法技巧]
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法：
[提醒] 用已知向量表示其他向量的关键是弄清向量之间的数量关系．
答案：D
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2.已知△ABC及其两边长AB＝c，AC＝b.若点E在∠BAC的平分线上，如何用向量语言描述点E的位置？(提示：菱形的每一条对角线平分一组对角．)课时跟踪检测 （四） 向量的数乘运算
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)下列各式计算正确的是 ( )
A．(－7)×6a＝－42a
B．a－2b＋2(a＋b)＝3a
C．a＋b－(a＋b)＝0
D．(a－b)－3(a＋b)＝－2a－4b
解析：选ABD 根据向量数乘的运算律可验证A、B正确；C错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数；D正确，(a－b)－3(a＋b)＝a－b－3a－3b＝－2a－4b.
2．点C在直线AB上，且＝3，则等于 ( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：选D 如图，＝3，所以＝2.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则
( )
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．2＝
解析：选B 因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.
4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为 ( )
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：选A 因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是 ( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
解析：选AB 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，又λ≠μ，故B可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．故选A，B.
6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________.
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使＝k.因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，
所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．因为a与b不共线，
所以解得λ＝2或λ＝－1.
答案：－1或2
7．已知点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.
答案： －
8．化简：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
解：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
层级(二) 能力提升练
1．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ－，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
解析：选B ∵＝λ＋，∴－＝λ.∴＝λ.∴P，A，C三点共线，∴点P一定在AC边所在的直线上．
2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M.设＝a，＝b，则下列结论正确的是( )
A.＝a＋b B.＝－a＋b
C.＝－a＋b D.＝－a＋b
解析：选ABD 如图，由题意可得，＝＋＝b＋a，故A正确.＝＋＝－a＋b＋a＝b－a，故B正确．因为AB∥CD，所以＝＝.所以AM＝AC，则＝＋＝－a＋＝－a＋b＋a＝b－a，故C错误.＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故D正确．故选A，B，D.
3.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝ m＋n (m，n∈R)，则m－n＝________.
解析：由题意得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
4.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝， ＝a，＝b.
(1)用a，b表示，， ，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)如图，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则＝a＋b，
＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，
＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．
又∵，有公共点B，∴B，E，F三点共线．
5．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，
即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
层级(三) 素养培优练
1.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是_________．
解析：设＝k,0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k.∵＝λ＋μ，且与不共线，∴∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ 的最大值是3.
答案：3
2.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的 斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若＝x＋y，求x，y的值．
解：如图，先过B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，再过点A作AF⊥BE交BE于点F，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，则CE＝BE，
设CE＝BE＝mCD，则AF＝(m＋1)CD，BF＝(m－1)DA，AB＝2AD.
在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，所以[(m＋1)CD]2＋[(m－1)DA]2＝(2 DA)2，解得m＝，故＝＋＋＝＋ ＋＝(1＋)＋，故x＝1＋，y＝.
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