课时跟踪检测 （五） 向量的数量积
层级(一) “四基”落实练
1．(多选)下列说法正确的是 ( )
A．向量b在向量a上的投影是向量
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若a·b＝0，则a⊥b
解析：选AB 对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.
2．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D 由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，
所以cos?a，a＋b?＝＝＝，故选D.
3．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝ ( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选A 因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.
4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝,故选B.
5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为 ( )
A．4 B．－4
C. D．－
解析：选B 由题意知，cos〈m，n〉＝＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，
所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4.
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________．
解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b方向上的投影向量为b.
答案：b
7．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝________.
解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.
答案：6
8．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b且同向，求a·b；
(2)若向量a，b的夹角为135°，求|a＋b|.
解：(1)若a∥b且同向，则a与b夹角为0°，
此时a·b＝|a||b|＝.
(2)|a＋b|＝ ＝
＝＝1.
层级(二) 能力提升练
1.如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝ ( )
A．20 B.
C．2 D.
解析：选C 由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a ＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C.
2．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于 ( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
解析：选A cos θ＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，
∴sin θ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.
3．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝
________.
解析：∵c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，
∴|c|＝3.又∵a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，
∴cos〈a，c〉＝＝.
答案：
4．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值．
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)
＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝|b|22＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
5．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1－1＋1＝1，
所以|a＋2b|＝1.又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
层级(三) 素养培优练
1．下面图①是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图②所示，图②中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则·＝ ( )
A．32 B．28
C．26 D．24
解析：选C 如图所示，建立以a，b为一组基底的基向量，其中|a|＝|b|＝1且a，b的夹角为60°，
∴＝2a＋4b，＝4a＋2b，
∴·＝(2a＋4b)·(4a＋2b)＝8a2＋8b2＋20a·b＝8＋8＋20×1×1×＝26.
2.如图，在直角△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：
与的夹角取何值时， ·最大？并求出这个最大值．
解：如图，设与的夹角为θ，
则·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·＝－a2－·＋·
＝－a2－·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2cos θ.
故当cos θ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
明确目标 发展素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义．
2.会计算平面向量的数量积．
3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求向量的投影．
4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 1.通过学习向量数量积的定义，提升数学抽象、数学运算素养．
2.通过对向量投影及投影向量概念的学习，提升数学抽象素养．
3.在数量积的应用过程中，提升逻辑推理、数学运算素养.
6.2.4 向量的数量积
∠AOB
续表
同向
反向
垂直
2．向量的数量积：
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
|a|cos θ·e
×
×
×
√
答案：A
答案：e
|a|cos θ
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
|a||b|
2．平面向量数量积的运算律：
交换律 a·b＝_____
结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·____
分配律 (a＋b)·c＝__________
b·a
(λb)
a·c＋b·c
答案：49
答案：0
×
×
√
答案：2
答案：3
题型三 与向量夹角、垂直有关的问题
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，
OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
[析题建模]
